龙贝格求积公式ppt课件.ppt

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1、（1）使用复化梯形公式、Simpson公式，首先要确定步长；（2）而步长要根据余项确定，这就涉及到高阶导数的估计；（3）高阶导数的估计一般比较困难，且估计值往往偏大；（4）计算机上实现起来不方便，通常采用“事后估计法”。三、积分步长的自动选取：注意事项：基本思想：将积分区间逐次分半终止法则：前后两次近似值的误差小于已知精度具体过程（以复化梯形公式为例）1、首先将区间n等分：2、再将区间2n等分，即步长减半：上述条件满足，程序终止；否则，继续分半计算。3、终止条件：由复化梯形公式的余项知变化不大时由此得到近似关系式误差控制条件对于复化Simpson公式、Cote

2、s公式可以类似得到对于复化梯形公式加速收敛应用步长逐次减半得到的复化梯形值、复化Simpson值、复化Cotes值与精确值的比较Romberg积分法/*RombergIntegrationMethod*/Romberg积分思想由上节分析知，用复化梯形公式计算积分值的误差大约为：令由复化梯形公式知梯形加速公式：利用复化梯形公式前后两次积分近似值和，按照上式作出的线性组合得到了具有更高精度的积分值。上述公式说明：Romberg积分公式正是由此思想产生Romberg值序列Simpson加速公式：Cotes加速公式：类似于梯形加速公式的处理方法，得到：通过上述3个积分值序

3、列求积分近似值的方法，称之为Romberg积分法。4个积分值序列：梯形值序列Simpson值序列Romberg值序列Cotes值序列Romberg积分法的一般公式其中Romberg积分表用龙贝格方法计算积分的步骤为：（1）：准备初值，先用梯形公式计算积分近似值：（2）：按变步长梯形公式计算积分近似值：令计算：（3）：按加速公式求积分（为便于编程，写为下列形式）梯形加速：辛普生加速：柯特斯加速：（4）：精度控制当时终止计算并取为近似值，否则，将步长折半，转（2）执行。实际计算时的加工流程图7.4.1示：例7.4.2用龙贝格算法加工例7.4.1得到的近似值解：用算法图7.

4、4.2计算结果见表7.4.1,表中k表示二分次数：01230.92073550.93979330.94451350.94569090.94614590.94608690.94608340.94608300.94608310.9460831例3：利用Romberg积分法式计算积分要求精确到小数点后面7位。解：根据Romberg积分法计算得具体结果见下表例3：取e=0.00001,用龙贝格方法计算积分解：由题意f(x)=4/(1+x2)a=0b=1f(0)=4f(1)=2由梯形公式得T1=1/2[f(0)+f(1)]=3计算f(1/2)=16/5用变步长梯形公式得T2=1

5、/2[T1+f(1/2)]=3.1由加速公式得S1=1/3(4T2-T1)=3.133333333求出f(1/4)f(3/4)进而求得T4=1/2{T2+1/2[f(1/4)+f(3/4)]}=3.131176471S2=1/3(4T4-T2)=3.141568628C1=1/15(16S2-S1)=3.142117648计算f(1/8)f(3/8)f(5/8)f(7/8)进而求得T8=1/2{T4+1/4[f(1/8)+f(3/8)+f(5/8)+f(7/8)]}=3.138988495S4=1/3(4T3-T4)=3.141592503C2=1/15(16S4-S

6、2)=3.141594095R1=1/63(64C2-C1)=3.141585784把区间再二分，重复上述步骤算得T16=3.140941613S8=3.141592652C4=3.141592662R2=3.141592640由于

7、R1-R2

8、<=0.00001,计算可停止，取R2=3.14159dx41+x201