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1、7.数值积分-Newton-Cotes公式+龙贝格算法将积分区间[a,b]划分为n等分,步长求积节点为为了计算系数Ak,由于,所以作变量代换当时,有,于是可得(k=0,1…,n)代入插值求积公式(4.1)有称为牛顿-柯特斯求积公式,Ck称为柯特斯系数引进记号(k=0,1…,n)则证:由插值型求积公式的余项其中可知梯形公式的误差为由于(x-a)(x-b)在[a,b]中不变号,在[a,b]上连续,根据高等数学中的积分中值定理,在[a,b]上存在一点η，使因此（2）Simpson公式当n=2时，牛顿-柯特斯公式就是Sim
2、pson公式（或称抛物线公式）定理4.3（Simpson公式的误差）设在[a,b]上具有连续的四阶导数，则Simpson求积公式的误差为定理证明从略。（3）柯特斯公式。当n=4时，牛顿-柯特斯公式为定理4.4（柯特斯公式的误差）设在[a,b]上具有连续的6阶导数，则柯特斯求积公式的误差为定理的证明从略。例4.10分别用梯形公式、Simpson公式和柯特斯公式计算定积分的近似值(计算结果取5位有效数字)(1)用梯形公式计算(2)用Simpson公式(3)用柯特斯公式计算，系数为积分的准确值为可见，三个求积公式的精度逐
3、渐提高。例4.11用Simpson公式和柯特斯公式计算定积分的近似值,并估计其误差(计算结果取5位小数)解:Simpson公式由于由Simpson公式余项知其误差为解:柯特斯公式知其误差为该定积分的准确值,这个例子告诉我们，对于同一个积分，当n≥2时，公式是精确的，这是由于Simpson公式具有三次代数精度，柯特斯公式具有五次代数精度，它们对被积函数为三次多项式当然是精确成立的。误差分析记Newton-Cotes公式的误差为：则：其中且依赖于x。为的n次插值多项式。假定在上足够光滑，则：当（即梯形公式）时，这里，积
4、分核其中：称为关于梯形公式的Peano核.当（即辛甫生公式）时（2.6）其中：（2.7）称为关于辛甫生公式的Peano核.对的阶Newton-Cotes公式可作同样的：讨论，最后可得如下误差（2.8）结论：n阶Newton-Cotes公式的代数精度为：收敛性问题例如:利用牛顿-柯特斯公式计算积分：解：积分的准确结果为：但用n阶牛顿-柯特斯公式计算时会出现如下的计算结果2468105.49022.27763.32881.94113.5956由上表可以看出：此时数值求积过程是发散的。对于n阶Newton-Cotes公式
5、的Cotes系数，若记其绝对值的和为则可以证明（2.10）结论：当n充分大时，的符号必定变化.显然，当时，对所有，都有即注意：例如当时，这里显然，这样的公式会引起有效数字的故实际应用时常常只采用几种低阶的求积公式，如梯形公式、Simpson公式、损失（尽管在n变得较大之前未必成为问题）.四阶Newton-Cotes公式——特别称作Cotes公式.分公司-XX部述职报告二一三四五2011年度总结2012年度工作计划2012年行动举措需要的资源支持总结1、2011年度总结类别指标名称目标（值）责任人计划目标（值）实际达
6、成（值）承诺达成率与10年对比增长率销售部11春夏指标计划发货XX万实际发货XX完计划回款XX万实际回款XX完11秋冬指标计划发货XX万实际发货XX完计划回款XX万实际回款XX完11年指标计划发货XX万实际发货XX完计划回款XX万实际回款XX完市场部11春夏指标计划开店XX万实际开店XX完11秋冬指标计划开店XX万实际开店XX完11年指标计划开店XX万实际开店XX完直营部11春夏指标计划新货零售XX万实际新货零售XX完计划老货零售XX万实际老货零售XX完11秋冬指标计划新货零售XX万实际新货零售XX完计划老货零售X
7、X万实际老货零售XX完11年指标计划新货零售XX万实际新货零售XX完计划老货零售XX万实际老货零售XX完2、2011年度总结总体评价:□令人满意□达到要求□需要改善□亟待改善完成情况经验交流亮点：经验教训：暗点：改进措施：注：1、亮点——成功的方面;经验、教训——分析成功的方法或取得的教训；暗点——存在的问题;改进措施——针对暗点的改进举措；2、上述各方面每个方面最多5点，每点50字以内、简明扼要，说明问题即可；二、2012年度工作计划类别指标名称目标（值）责任人计划目标（值）与11年对比增长率销售部12春夏指标计
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