《求积公式》PPT课件

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1、§4.1求积公式4.1.1求积公式结束对定义在区间［a,b］上的定积分以上公式多称为牛顿-莱布尼兹公式，F(x)为f(x)的原函数.但有时原函数不能用初等函数表示，有时原函数又十分复杂，难于求出或计算.如被积函数为:第四章数值积分等函数的积分都无法解决，当被积函数为一组数据时，更是无能为力.为解决定积分的近似计算,从定积分的定义：这样就避开了求原函数的运算.(4.1)式就叫做求积公式，Ak(k=0,1,…,n)与函数f(x)无关，叫做求积系数,显然要确定一个求积公式，要确定求积结点xk和求积系数Ak，或者说不同的求积

2、结点和求积系数将确定不同的求积公式.结束结束4.1.2求积公式的余项和代数精度一般情况下，(4.1)两端并不相等.我们称:(4.2)为求积公式(4.1)的余项，或截断误差.为考查一个求积公式的误差，通常用代数精度来表示，如果一个求积公式对于不超过m次的多项式都能够精确成立(R[f]≡0)，而对m+1次以上的多项式不能精确成立，则称该求积公式的代数精度为m.结束例如求积公式：验证当f(x)=xm，m=0,1,2,3,4时，是否有R[xm]=0所以以上求积公式的代数精度为3.任何一个求积公式的代数精度至少为零

3、即取f(x)=1时公式应精确成立，这是求积系数应满足的起码条件，可以用它检验一个求积公式的系数的正确性.4.1.3矩形求积公式f(x)=f(a)+f’(ξ)(x-a)，ξ在x,a之间,两端积分：把f(x)在a处作Taylor展开:结束结束注意到右端第二项积分，设f′(x)在［a,b］上连续，而x-a在［a,b］上不变号(非负)，据积分中值定理有：于是有左矩形公式：同理,f(x)在b点展开,可得右矩形公式:结束f(x)在中点(a+b)/2展开,可得中矩形公式:不难验证，(4.3)和(4.4)具有零次代数精度，

4、(4.5)具有一次代数精度.结束4.1.4内插求积公式由插值可知，对任一函数f(x)(包括表格形式的函数)可用一n次多项式对其插值，即当Pn(x)为拉格朗日插值多项式时，即结束其中:通常将公式(4.6)叫做内插求积公式.§4.2牛顿-柯特斯公式为便于上机计算，通常在内插求积公式中取等距节点，即将积分区间[a,b]n等分，即令h=(b-a)/n，且记x0=a,xn=b，则节点为xk=x0+kh(k=0,1,…n)，作变换:t=(x-x0)/h，代入求积系数公式：结束这种由等距节点的内插求积公式通常叫做牛顿-柯特斯公式,

5、下面介绍几个常用的公式:取a=x0,b=x1,(即n=1)，代入(4.9)式得4.2.1梯形公式所以梯形公式为结束结束这是用梯形面积近似代替曲边梯形的面积，对梯形公式的误差估计有如下定理：定理4.1设f(x)为二阶连续可微函数，则梯形求积公式的余项为(证明)其中h=b-a，记成上面形式是为以后复化求积公式余项的一致性.由余项公式立刻可以看出梯形公式的代数精度为1.结束例1利用梯形公式计算解:4.2.2抛物形（辛卜生）公式取a=x0,(a+b)/2=x1,b=x2,(即n=2)，代入(4.9)式得结束所以抛物形公式为

6、其中h=(b-a)/2,上式也可写成:结束抛物形公式通常也称为辛普生公式，抛物形公式是用抛物线围成的曲边梯形近似代替f(x)围成的曲边梯形.定理4.2设f(x)∈C4[a,b]，则辛普生公式的误差估计为:直接可以验证抛物形公式代数精度为3(对f(x)为三次以下多项式精确成立).例2利用抛物形公式计算解:结束(4.9)式给出4.2.3牛顿-柯特斯公式其中:可以看出，C(n)k不依赖函数f(x)和积分区间[a,b]，可以事先计算出来，通常叫做牛顿-柯特斯系数，下面给出n从1～6的牛顿--柯特斯系数表4-1：结束n11/2

7、1/221/64/61/631/83/83/81/847/9032/9012/9032/907/90519/28875/28850/28850/28875/28819/288641/840216/84027/840272/84027/840216/84041/840表4-1结束对牛顿-柯特斯公式，当f(x)∈Cn［a,b］，f(n+1)(x)在[a,b]上存在时，求积公式的余项为:对f(x)为任何不超过n次的多项式，均有f(n+1)(x)≡0，因而Rn[f]≡0，也就是说，牛顿-柯特斯公式的代数精度至少为n.我们可以

8、证明当n为偶数时，牛顿-柯特斯公式的代数精度可达到n+1.证明:令n=2k,设为任一n+1次多项式，其最高次系数为an+1，则它的n+1阶导数为结束下面我们证明作变换u=t-k，则结束容易验证ψ(u)为奇函数，即ψ(-u)=-ψ(u),而奇函数在对称区间上的积分为零，所以也就是说，当n为偶数时，牛顿-柯特斯公式对不超过n+1次的多项式均能精确成