第六章-曲线拟合的最小二乘法ppt课件.ppt

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1、第六章曲线拟合的最小二乘法§6.1引言§6.2线性代数方程组的最小二乘解§6.3曲线最小二乘拟合如果实际问题要求解在[a,b]区间的每一点都“很好地”逼近f(x)的话，运用插值函数有时就要失败。另外，插值所需的数据往往来源于观察测量，本身有一定的误差。要求插值曲线通过这些本身有误差的点，势必使插值结果更加不准确。如果由试验提供的数据量比较大，又必然使得插值多项式的次数过高而效果不理想。§1引言从给定的一组试验数据出发，寻求函数的一个近似表达式y=(x)，要求近似表达式能够反映数据的基本趋势而又不一定过全部的点(xi,yi

2、)，这就是曲线拟合问题，函数的近似表达式y=(x)称为拟合曲线。本章介绍用最小二乘法求拟合曲线。曲线拟合问题的关键：选择合适的曲线类型：根据问题的物理规律或数据特点，选择合适函数空间，则拟合曲线可以表示为在曲线类型中选择“最好”曲线：即确定拟合曲线的系数。其误差的度量形式很多，选用使最小做为确定参数的方法称为最小二乘法。§2线性代数方程组的最小二乘解设线性方程组或写为其矩阵形式为当方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩不相等时，方程组无解，此时方程组称为矛盾方程组。对于rankA＝n（A的秩为n）的矛盾方程组（N>n），我们寻求

3、其最小二乘意义下的解。1.最小二乘原则由于矛盾方程组的精确解不存在，我们转而寻求其某种意义下，即最小二乘意义下的解。令称为偏差。达到最小值，这一条件称为最小二乘原则。工程实际中的许多问题都可以归结为矛盾方程组，实际中需要寻求矛盾方程组的一组解，以使得偏差的绝对值之和尽可能地小。为了便于分析计算和应用，常采用使偏差的平方和按照最小二乘原则来选择未知数x1,x2,…,xn的一组取值的方法称为求解矛盾方程组的最小二乘法。符合条件的一组取值称为矛盾方程组的最小二乘解。把Q看成是n个自变量x1,x2,…,xn的二次函数，记为Q＝f(

4、x1,x2,…,xn)，因此，求矛盾方程组的最小二乘解就是求二次函数Q＝f(x1,x2,…,xn)的最小值点。问题：二次函数Q＝f(x1,x2,…,xn)是否存在最小值？若最小值存在，如何求出该最小值点？2.最小二乘解的存在唯一性引理1：设n元实函数f(x1,x2,…,xn)在点P0(a1,a2,…,an)的某个邻域内连续，且有一阶及二阶连续的偏导数，如果(1)(2)矩阵是正（负）定矩阵，则f(a1,a2,…,an)是n元实函数f(x1,x2,…,xn)的极小（大）值。引理2：设非齐次线性方程组的系数矩阵A=(aij)N×

5、n，若rankA=n，则(1)矩阵ATA是对称正定矩阵；(2)n阶线性方程组有唯一的解。证明：（1）矩阵ATA显然是对称矩阵。设齐次线性方程组因为rankA=n，故齐次方程组有唯一零解。因此，对于任意的，有，从而故矩阵ATA是对称正定矩阵。(2)因为矩阵ATA是正定矩阵，故rank(ATA)=n，从而线性方程组有唯一的解。证毕定理：设矛盾方程组的系数矩阵的秩为n，则二次函数一定存在最小值，且最小值点为方程组的解。引理2说明,在条件RankA=n下,无论线性方程组Ax=b是否有解,构造的n阶方程组ATAx=ATb一定有唯一解

6、。Remark1：线性方程组称为正则方程组。3.最小二乘法解矛盾方程组计算步骤：（1）判断方程组的秩是否满足rankA=n？（2）写出正则方程组；（3）求解正则方程组，其解就是矛盾方程组的最小二乘解。设曲线拟合模型为§3曲线最小二乘拟合如果试图插值，即则得到关于未知数的线性方程组明显该方程组无解，是矛盾方程组，可以寻求其在最小二乘意义下的解。对应的正规方程组为Remark1.同一问题可以有不同的拟合曲线，通常根据均方误差和最大偏差的大小来衡量拟合曲线的优劣。均方误差和最大偏差较小的拟合曲线为较优的拟合曲线。2.在解决实际问

7、题时，有时通过观察选择多个函数类型进行计算、分析、比较，最终获得较好的数学模型；有时把经验公式作为数学模型，只是用最小二乘法来确定公式中的待定常数。Remark3.当拟合曲线(x)中的待定常数是线性形式时，可直接根据矛盾方程组得到正则方程组而求解。当待定常数不是线性形式时，则应该先将待定常数线性化，再根据矛盾方程组写出正则方程组而求解。例1：例2：例1.对彗星1968Tentax的移动在某极坐标系下有如下表所示的观察数据，假设忽略来自行星的干扰,坐标应满足：其中：p为参数，e为偏心率,试用最小二乘法拟合p和e。r2.70

8、2.001.611.201.02480670830108012600.3703700.500000.6211180.833330.9803920.6691310.3907310.121869-0.309017-0.587785解:变形为:则有如下数据记，得拟合模型：则矛盾方程组为：得正则方程组为：解得：