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1、曲线拟合曲线拟合问题仍然是已知x1…xn;y1…yn,求一个简单易算的近似函数f(x)来拟合这些数据。但是①n很大；②yi本身是测量值，不准确，即yif(xi)这时没必要取f(xi)=yi,而要使i=f(xi)yi总体上尽可能地小。这种构造近似函数的方法称为曲线拟合，f(x)称为拟合函数称为“残差”1y=f(x)y=p(x)xx0x1x2……xnyy0y1y2……yn插值2求一条曲线,使数据点均在离此曲线的上方或下方不远处,所求的曲线称为拟合曲线,它既能反映数据的总体分布,又不至于出现局部较大的波动,更能反映被逼近函数的特性,使求得的逼近函数与已知函数从总体上来说其偏差按某种
2、方法度量达到最小。拟合3与函数插值问题不同,曲线拟合不要求曲线通过所有已知点,而是要求得到的近似函数能反映数据的基本关系。在某种意义上,曲线拟合更有实用价值。两种逼近概念:插值:在节点处函数值相同.拟合:在数据点处误差平方和最小在对给出的实验(或观测)数据作曲线拟合时,怎样才算拟合得最好呢？4常见做法：使最小较复杂，使最小不可导，求解困难使最小“使i=P(xi)yi尽可能地小”有不同的准则5曲线拟合的最小二乘法一、拟合问题的提出及其最小二乘法6例某物质的溶解度y和温度x的关系经测定满足下面数据表，试建立该问题的数学模型.将(x,y)的数据点描在一坐标纸上，则如下图所示.7y与x
3、近似成抛物线关系，数据点分布在一抛物线的两侧.从图中可见，因此，可以猜测即有其中是待定常数，这就是本问题的数学模型.8确定了问题的数学模型后，中的待定常数.还需求出不妨假设与待定常数呈线性关系，即这里是线性无关函数系，为待定常数.9在例1中，设函数误差为我们希望猜想的数学模型应尽量接近观测数据，即使得误差带权平方和越小越好.1011根据最小二乘原理，应取和使有极小值，故和应满足下列条件：（1）直线拟合设已知数据点,分布大致为一条直线。作拟合直线,该直线不是通过所有的数据点,而是使偏差平方和为最小。12即得如下方程组例设有某实验数据如下：12341.361.371.952.2814.
4、09416.84418.47520.963用最小二乘法求以上数据的拟合函数解:把表中所给数据画在坐标纸上,将会看到数据点的分布可以用一条直线来近似地描述,设所求的13拟合直线为记x1=1.36,x2=1.37,x3=1.95x4=2.28,y1=14.094,y2=16.844,y3=18.475,y4=20.963则正规方程组为其中将以上数据代入上式正规方程组,得14解得即得拟合直线15（2）多项式拟合有时所给数据点的分布并不一定近似地呈一条直线,这时仍用直线拟合显然是不合适的,可用多项式拟合。对于给定的一组数据寻求次数不超过n(n<5、类似，使偏差的平方和为最小16由于Q可以看作是关于(j=0,1,2,…,n)的多元函数,故上述拟合多项式的构造问题可归结为多元函数的极值问题。令得即有17这是关于系数的线性方程组，通常称为正规方程组。可以证明，正规方程组有惟一解。例设某实验数据如下：123456012345521123用最小二乘法求一个多项式拟合这组数据18解：将已给数据点描在坐标系中，可以看出这些点接近一条抛物线，因此设所求的多项式为由法方程组（3.2）,经计算得m=6,其法方程组为解之得所求的多项式为19几种常见的数据拟合情况。图(a)表示数据接近于直线，故宜采用线性函数拟合；图(b)数据分布接近于抛物线。可采
6、拟合；二次多项式拟合；(a)(b)20图(c)的数据分布特点是开始曲线上升较快随后逐渐变慢,宜采用双曲线型函数或指数型函数图(d)的数据分布特点是开始曲线下降快,随后逐渐变慢,宜采用或或等数据拟合。(c)(d)21例3.13设某实验数据如下:12345600.511.522.52.01.00.90.60.40.3用最小二乘法求拟合曲线解:将已给数据点描在坐标系中下图所示,可以看出这些点接近指数曲线,因而可取指数函数作为拟合函数.对函数两边取对数得.令得则就得到线性模型22则正规方程组为其中将以上数据代入上式正规方程组，得解得由得23由得于是得到拟合指数函数为（4）超定方程组的最小二
7、乘解设线性方程组Ax=b中，,b是m维已知向量，x是n维解向量，当m＞n，即方程组中方程的个数多于未知量的个数时，称此方程组为超定方程组。一般来说，超定方程组无解（此时为矛盾方程组),这时需要寻求方程组的一个“最近似”的解.记,称使,即最小的解为方程组Ax=b的最小二乘解。25定理是Ax=b的最小二乘解的充分必要条件为是的解.证明:充分性若存在n维向量,使任取一n维向量,令,则且所以是Ax=b的最小二乘解。26必要性:r的第i个分量为,,记由多元函数求极值的必要条件，
