利用最小二乘法的曲线拟合.ppt

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1、第3章函数逼近§3.1曲线拟合的最小二乘法1§3.1曲线拟合的最小二乘法问题的提出某种合成纤维的强度与其拉伸倍数有直接关系，下表是实际测定的24个纤维样品的强度与相应拉伸倍数的记录。提示：将拉伸倍数作为x,强度作为y,在座标纸上标出各点，可以发现什么?2数据表格3数据图4曲线拟合已知的离散数据yi=f(xi)(i=0,1,2,…,n)往往是通过观测而得到的，经常带有观测误差。曲线拟合：希望找到—条曲线，它既能反映结定数据的总体分布形式，又不致于出现局部较大的波动。这种逼近方式．只要所构造的逼近函数(x)与被逼近函数f(x)在区

2、间[a,b]上的偏差满足其种要求即可。5偏差设给定数据点(xi,yi),(i=0,1,2,…,n),记并称ei为偏差。6最小二乘法曲线拟合的最小二乘法：以使得偏差的平方和最小为标准7例题例3.1某合金成分x与膨胀系数y之间的关系有如下实验数据，求膨胀系数y与成分x的拟合曲线y=P(x)。i0123456x37383940414243y3.403.002.101.531.801.902.908例题解将数据标在坐标纸上，由散点图可以推断他们大致分布在一条抛物线上。为此取9例题10例题11例题得到的方程组称为矛盾方程组。令12例题得上

3、述方程组称为矛盾方程组。两边同乘以即13例题解得于是所求拟合曲线为14线性矛盾方程组方程个数大于未知量个数的方程组称为矛盾方程组，一般形式为即15线性矛盾方程组（续）Ax＝bA是n×m阶的列满秩矩阵,x是m维的列向量,b是n维的列向量,剩余向量（3.11）（3.12）16线性矛盾方程组（续）17线性矛盾方程组（续）该式称为方程组Ax＝b的法方程。因此，求解n阶矛盾方程组的问题转化求解m阶线性方程组的问题。18例题例3.2对例3.2中的数据，试求形如的拟合函数。解：按题意，得矛盾方程组，19例题20例题写成矩阵形式，为其中21例题

4、其法方程为即22例题23解出因此所求的拟合函数为23例题例3.3已知观测数据(1，-5)，(2，0)，(4，5)，(5，6)，试用最小二乘法求形如上的经验公式。24例题25解：记按题意，得矛盾方程组，写成矩阵形式，为25例题写成矩阵形式，为其中26例题其法方程为即27其法方程为即解得于是所求拟合曲线为27已知观测数据(1，5)，(2，21)，(3，46)，试用最小二乘法求形如上的经验公式。非线性最小二乘拟合28非线性最小二乘拟合得到的是非线性方程组，求解通常比较困难。29非线性最小二乘拟合两边取对数，得则得令（1）30非线性最小

5、二乘拟合两边取自然对数，得令则得（2）31非线性最小二乘拟合（续）（3）两边取对数，得则得令32非线性最小二乘拟合（续）令则得（4）33非线性最小二乘拟合（续）（5）令则得34例题例3.4给定实验数据x1.001.251.501.752.00y5.105.796.537.458.46试求形如的拟合函数。35例题解对拟合函数的两边取自然对数，即令则上式成为关于A，b的线性函数36例题根据数据(x,y)算出对应的(z,w),得下表z1.001.251.501.752.00w1.62921.75611.87642.00822.1353

6、建立法方程37例题解得因此，所求的拟合函数为38本章小结最小二乘法曲线拟和是实验数据处理的常用方法。对于非线性最小二乘拟合，需首先转化为线性最小二乘拟合后求解。39本章结束40