曲线拟合的最小二乘法 全课件.ppt

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1、《计算方法》3数据拟合飞机设计教研室白巍离散数据的最小二乘逼近线性拟合与二次拟合数据拟合的线性模型提纲挈领引例1.我国人口数量预测问题(单位:亿)引例2.利用慧星极坐标观察值确定慧星轨道问题2.702.001.611.201.02486783108126年199119921993199419951996数量11.5811.7211.8511.9812.1112.24已知数据表xx1x2··········xmf(x)y1y2··········ym离散数据的线性拟合求拟合函数:(x)=a+bxa+bx1=y1a+bx2=y2········

2、··········a+bxm=ymGX=F高矩阵G超定方程组2-范数平方最小二乘法:确定X=[a,b]T使残差2-范数最小残差:rk=(a+bxk)–yk(k=1,2,···,m)GX=Fr=GX–F(r,r)=(GX–F,GX–F)(r,r)=(GX,GX)–2(GX,F)+(F,F)令f(X)=(GX,GX)–2(GX,F)求解极值问题:X=[a,b]Tg(t)=f(X+te)=f(X)+2t(Ge,GX–F)+t2(Ge,Ge)g’(0)=0(Ge,GX–F)=0(e,GT(GX–F))=0取e=e1,e2GTGX–GTF=0

3、GTGX=GTF设X=[a,b]T是函数f(X)的极值点,任意e∈R2f(X+te)=(G(X+te),G(X+te))–2(G(X+te),F)=(GX,GX)+2t(Ge,GX)+t2(Ge,Ge)–2(GX,F)–2t(Ge,F)令A=GTG,b=GTFAX=b对称正定方程组求a,b使S(a,b)=min方程组系数矩阵方程组右端项超定方程组:GX=F法方程组:GTGX=GTF例1.已知实验数据如下,求线性拟合函数。解:设拟合曲线方程为(x)=a+bxx12345f(x)44.56895a+15b=31.515a+55b=108a=2.25,

4、b=1.35GX=FGTGX=GTF

5、

6、r

7、

8、2=0.7583残差向量:(1)－4=－0.40(2)－4.5=0.45(3)－6=0.30(4)－8=－0.35(5)－9=0(x)=2.25+1.35x求数据的二次拟合函数P(x)=a0+a1x+a2x2x12345f(x)44.5689解:将数据点代入,得a0+a1+a2=4a0+2a1+4a2=4.5··················a0+5a1+25a2=9得P(x)=3+0.7071x+0.1071x2二次拟合误差:

9、

10、r

11、

12、2=0.6437a0=3,a1=0.7071,a2=

13、0.1071比较线性拟合误差:

14、

15、r

16、

17、2=0.7583多项式拟合函数:(x)=a0+a1x+a2x2+······+anxn数据拟合的线性模型给定数据表xx1x2··········xmf(x)y1y2··········ym数据拟合的线性模型的表达式为(x)=a00(x)+a11(x)+······+ann(x)例如:[0(x),1(x),···,n(x)]=[1,x,···,xn]拟合函数:拟合数据:f(xj)=yj,(j=1,2,3,·····,m)超定方程组:GX=FGTGX=GTF··············m>n+1超定

18、方程组系数矩阵按列分块GX=FGTGX=GTF·····法方程组的解称为超定方程组的最小二乘解如果相应的法方程组直线拟合抛物线拟合例1.已知实验数据如下,求线性拟合函数。解:设拟合曲线方程为(x)=a+bxx12345f(x)44.56895a+15b=31.515a+55b=108a=2.25,b=1.35GX=FGTGX=GTF求数据的二次拟合函数P(x)=a0+a1x+a2x2x12345f(x)44.5689解:将数据点代入,得a0+a1+a2=4a0+2a1+4a2=4.5··················a0+5a1+25a2=9

19、得P(x)=3+0.7071x+0.1071x2二次拟合误差:

20、

21、r

22、

23、2=0.6437a0=3,a1=0.7071,a2=0.1071比较线性拟合误差:

24、

25、r

26、

27、2=0.7583例：求下面数据表的1次最小二乘拟合多项式。解：设一次拟合多项式为例：求下面数据表的二次最小二乘拟合多项式。可得法方程解：设二次拟合多项式为所以此数据组的二次最小二乘拟合多项式为*非线性最小二乘问题有时需要其它函数，如，等拟合给定的数据，这时建立的法方程是一个非线性方程组，称这类拟合问题为非线性最小二乘问题。例：用指数函数拟合下面的数据例：用函数拟合表中的数据考虑一般的线性无关

28、函数族={0(x),1(x),…,n(x),…}，其有限项的线性组合称为广义多项式。