高一数学-重要知识点及典型例题-函数.doc

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1、函数函数记号及表示法集合映射函数反函数反函数与原函数的关系函数的概念和性质初等函数、幂,指,对数、三角函数函数的三要素函数的图象函数的性质定义域、值域对应法则平移、翻折对称、伸缩单调性最值应用数,式的大小比较方程的解法与讨论不等式的解法与讨论生产实际中的应用解析法、表格法、图象法一、知识网络二、重要知识点及典型例题1.映射的概念：（任意对唯一）设①A中所有元素都有象（在B中），并且象是唯一的；②B中的元素未必有原象（在A中），允许B中的元素有剩余.函数的概念:（任意对唯一）函数的三要素:对应关系,定义域,值域是函数的三要素,缺一不可.☆☆复合函

2、数的定义域求法：若的定义域为[a,b],则的定义域即为的解集.若的定义域为[a,b]，则的定义域即为在[a,b]的值域.(相同的对应法则整体自变量的取值范围不变)2.求函数解析式的方法:(1)代入法:已知一个函数的解析式,求另外的解析式,直接代入.已知,求.☆(2)待定系数法:已知函数的类型,要求函数解析式时,可根据类型设其解析式,从而确定系数即可.如:已知是一次函数,且,求.(3)拼凑法:已知y=ƒ[g(x)]的解析式,要求y=ƒ(x)时,可从y=ƒ[g(x)]的解析式中拼凑出“g(x)”,即用g(x)来表示,再将两边的g(x)用x代替即可.

3、如:已知:,求f(x).☆(4)换元法:象上面的题目,也可以令,再求出的解析式,然后用x代替所有的t即可得到所求函数的解析式.(5)方程组法（消去法）:根据题目中的条件,列出所求的y=ƒ(x)所满足的方程组,通过解方程组得到问题的解答,在这里要注意的是函数的可变化性.如:已知,求ƒ(x).3..函数的图象作法(1)描点法:①列表;②描点;③用光滑的曲线连线.(2)变换作图法:一个函数图象经过适当的变换,得到另一个与之有关的函数图象,平移、对称、翻折、伸缩是图象的四种基本变换:1)平移变换,主要有☆①水平平移:的图象,可由的图象向左或者向右平移（

4、左加右减）个单位得到;水平平移不改变函数的值域.☆②上下平移:的图象,可由的图象向上或者向下平移（上加下减）个单位得到.竖直平移不改变函数的定义域.2)对称变换（函数的对称性）主要有☆①与的图象关于轴对称;☆②与的图象关于轴对称;☆③与的图象关于原点对称;☆④与的图象关于直线对称;⑤与的图象关于直线对称;☆⑥与的图象关于直线对称;若(或者则的图象关于直线对称;⑦与的图象关于对称;⑧与的图象关于点对称;⑨若存在常数,使得对于函数的定义域内的每一个仍在定义域内,且,则的图象关于直线对称.☆3)翻折变换,主要有①的图象在轴的右侧的部分与的图象相同,在

5、轴左侧部分与其右侧部分关于轴对称;②的图象在轴的上方部分与的图象相同,其他部分图象为图象在轴下方部分关于轴的对称图形.☆4)伸缩变换,主要有（三角函数中）①的图象,可将的图象上每点的纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)而得到;②的图象,可将的图象上每点的横坐标伸长或缩短为原来的倍(纵坐标不变)而得到.4.函数值域（最值）的求法:(1)观察法:直接根据函数表达式得到函数的值域.如:求函数的值域.(2)不等式法(部分分式法):根据不等式的性质直接推导得到值域.如:求函数的值域.☆(3)反表示法(反函数法):将函数表示成另一种形式求值域.如:求函

6、数的值域.☆(4)中间变量法（方程思想）:借助于中间变量来解决问题.(中间变量的范围已知).如:求函数、的值域.(5)配方法:通过配成完全平方来求解.如:求函数的值域.☆(6)图象法（数形结合法）:根据函数的图象得到函数值域的求解.如：求函数的值域☆(7)换元法:通过换元的方法将无理函数或指对函数式化简来进行求解.(注意变元的取值范围不能改变)如:求函数、的值域.(8)判别式法:借助于二次函数的判别式来求函数的值域.如:求函数的值域.☆5函数的单调性:函数的单调性是一个局部概念:单调区间在变换的时候,不能交,也不能并,在写法上一定要注意规范性.

7、（1）判断函数的单调性（利用定义：取值任意—作差变形—判断正负—得出结论）（2）求复合函数的单调区间（同增异减）先求定义域如：求函数，，的单调区间（3）利用函数的单调性解不等式、比较大小、求参数等☆6函数的奇偶性：（注意定义域是否关于原点对称）①是偶函数对于任意的恒成立的图像关于轴对称②是奇函数对于任意的恒成立的图像关于原点（0，0）轴对称，☆奇函数若在处有意义则；有时用来判断奇偶性☆③奇（偶）函数在关于原点对称的两个区间上具有相同（相反）的单调性☆7函数的周期性：（主要是针对抽象函数及三角函数）或是周期为2T的周期函数如：等8反函数(1)的定

8、义域与值域互换☆(2)）☆（3）y=f(x)与y=f－1(x)有相同的单调性、奇偶性（奇）(4)函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称f－1(x)=