高中数学三角恒等变换与三角函数的化简求值.doc

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1、第1讲　三角恒等变换与三角函数的化简、求值高考定位　高考对本内容的考查主要有：(1)两角和(差)的正弦、余弦及正切，C级要求；(2)二倍角的正弦、余弦及正切，B级要求.应用时要适当选择公式，灵活应用，试题类型可能是填空题，同时在解答题中也是必考题，经常与向量综合考查，构成中档题.真题感悟1.(2017·江苏卷)若tan＝，则tanα＝________.解析　法一　∵tan＝＝＝，∴6tanα－6＝1＋tanα(tanα≠－1)，∴tanα＝.法二　tanα＝tan＝＝＝.答案　2.(2018·江苏卷)已知

2、α，β为锐角，tanα＝，cos(α＋β)＝－.(1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值.解　(1)因为tanα＝，tanα＝，所以sinα＝cosα.因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，因此，cos2α＝2cos2α－1＝－.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π).又因为cos(α＋β)＝－，所以sin(α＋β)＝＝，因此tan(α＋β)＝－2.因为tanα＝，所以tan2α＝＝－，因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－.考点整合1.三角函数公式(1)

3、同角关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tanα.(2)诱导公式：对于“±α，k∈Z的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限.(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式：sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；cos(α±β)＝cosαcosβ±sinαsinβ；tan(α±β)＝.(4)二倍角公式：sin2α＝2sinαcosα，cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(5)辅助角公式：asinx＋bcosx＝sin(

4、x＋φ)，其中cosφ＝，sinφ＝.2.公式的变形与应用(1)tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ).(2)升幂、降幂公式1＋cosα＝2cos2，1－cosα＝2sin2；sin2α＝，cos2α＝.(3)角的拆分与组合2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；α＝－＝＋等.热点一　三角函数式的化简与求值【例1】(1)(2018·泰州模拟)化简：＝________.

5、(2)若tanα＝2tan，则＝________.解析　(1)原式＝＝＝＝＝cos2x.(2)＝＝＝＝＝＝3.答案　(1)cos2x　(2)3探究提高　(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.【训练1】(1)(2018·徐州调研)计算：tan70°cos10°(tan20°－1)＝________.(2)若α∈，且3cos2α＝sin，则sin2α的值为_

6、_______.解析　(1)原式＝·cos10°＝＝＝－＝－1.(2)由cos2α＝sin＝sin＝2sincos代入原式，得6sincos＝sin，∵α∈，∴－α∈，sin≠0，∴cos＝，∴sin2α＝cos＝2cos2－1＝－.答案　(1)－1　(2)－热点二　三角函数的求值(求角)【例2】(1)(2018·全国Ⅲ卷改编)若sinα＝，则cos2α＝________.(2)(2017·南京、盐城联考)已知α，β为锐角，cosα＝，sin(α＋β)＝，则cosβ＝________.(3)已知α，β∈(

7、0，π)，且tan(α－β)＝，tanβ＝－，则2α－β的值为________.解析　(1)cos2α＝1－2sin2α＝1－2×＝.(2)∵α为锐角，∴sinα＝＝.∵α，β∈，∴0＜α＋β＜π.又∵sin(α＋β)＜sinα，∴α＋β＞，∴cos(α＋β)＝－.cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝＝.(3)∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝＞0，∴0＜α＜.又∵tan2α＝＝＝＞0，∴0＜2α＜，∴tan(2α－β)＝＝＝1.∵ta

8、nβ＝－＜0，∴＜β＜π，－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－.答案　(1)　(2)　(3)－探究提高　(1)给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法；(2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再求角的范围确定角.【训练2】(1)(2015·江苏卷)已知tanα＝－2，tan(α＋β)＝，则tanβ的值为________.(2)已知sinα＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β等于________.