高中数学立体几何讲义(二).doc

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1、空间中的垂直关系Ⅰ、直线与平面垂直1、线面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面。交点叫做垂足。直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a⊥α。2、直线与平面垂直的判定方法：①利用定义。②判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。③其它方法：（Ⅰ）、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。（Ⅱ）、如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么也垂直于另一个面。（Ⅲ）、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂

2、直于他们交线的直线垂直于另一个平面。（Ⅳ）、如果两个相交平面都和第三个平面垂直，那么相交平面的交线也垂直于第三个方面。3、直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。4、三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的投影垂直，那么它也和这条斜线垂直。说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；5、三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的投影垂直。．练习：1．若表示直线，表示平面，下列条件中，能使的是（）2．已知与是两条不同的直线，若直线平面，①若直线，则；②若，

3、则；③若，则；④，则。上述判断正确的是（）①②③②③④①③④②④3.设三棱锥的顶点在平面上的射影是，给出以下命题：①若，，则是的垂心②若两两互相垂直，则是的垂心③若，是的中点，则④若，则是的外心其中正确命题的命题是①②③④例1、已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过A点作AE⊥PC于点E，求证：AE⊥平面PBC。证明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC。又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC。而PC∩AC=C，∴BC⊥平面PAC。又∵AE在平面PAC内，∴BC⊥AE。∵PC⊥AE，且PC∩BC=C，∴AE⊥平面PBC。[反思归纳]证明直线与平面垂直的常用方法有：

4、利用线面垂直的定义；利用线面垂直的判定定理；利用“若直线a∥直线b，直线a⊥平面α，则直线b⊥平面α”。例2、在直三棱柱ABC—A1B1C1中，B1C1=A1C1，A1B⊥AC1，求证：A1B⊥B1C。证明：取A1B1的中点D1，连结C1D1。∵B1C1=A1C1，∴C1D1⊥ABB1A1。连结AD1，则AD1是AC1在平面ABB1A1内的射影，∵A1B⊥AC1，∴A1B⊥AD1。取AB的中点D，连结CD、B1D，则B1D∥AD1，且B1D是B1C在平面ABB1A1内的射影。∵B1D⊥A1B，∴A1B⊥B1C。[反思归纳]证明异面直线垂直的常用方法有：证明其中一直线垂直另外一直线所在

5、的平面；利用三垂线定理及其逆定理。例3．四面体中，分别为的中点，且，，求证：平面证明：取的中点，连结，∵分别为的中点，∴，又∴，∴在中，∴，∴，又，即，∴平面例4．如图是所在平面外一点，平面，是的中点，是上的点，（1）求证：；（2）当，时，求的长。（1）证明：取的中点，连结，∵是的中点，∴，∵平面，∴平面∴是在平面内的射影，取的中点，连结，∵∴，又，∴∴，∴，由三垂线定理得（2）∵，∴，∴，∵平面∴，且，∴例5.如图，直三棱柱中，，侧棱，侧面的两条对角线交于点，的中点为，求证：平面证明：连结，∵∴，在直三棱柱中，∴平面，∵，∴，∴，∵是侧面的两条对角线的交点，∴是与的中点，∴，连结，

6、取的中点，连结，则，∵平面，∴平面，∴是在平面内的射影。在中，在中，，∴∴，∴，∴平面平面与平面垂直1、两个平面垂直的定义：两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。2、两平面垂直的判定方法：①利用定义。②判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。推理模式：，。3、两平面垂直的性质定理：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。推理模式：4、向量法证明直线与平面、平面与平面垂直的方法：①证明直线与平面垂直的方法：直线的方向向量与平面的法向量平行；②证明平面与平面垂直的方法：两平面的

7、法向量垂直。练习1、（2009广东卷理）给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（）。【解析】选D.A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④2、（2009四川卷）如图，已知六棱锥的底面是正六边形，则下列结论正确的是（）。A.