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1、(四)第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入（120分钟150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.如图，向量-等于（）【解析】选D.设、的终点分别为A、B，则2.（2011·绍兴模拟）如果复数z=a2+a-2+(a2-3a+2)i为纯虚数，那么实数a的值为（）(A)1(B)2(C)-2(D)1或-2【解析】选C.由纯虚数的概念得解得a=-2.3.已知向量=(,1)，是不平行于x轴的单位向量，且·=则=（）【解析】选B.设=(x,y)(y≠0)，则有x+y=且
2、x2+y2=1(y≠0)，∴【解析】选B.这表明点M在直线AB上,∵λ＞0,∴同向,又∵λ∈(1,2),∴故选B.4.已知O，A，M，B为平面上四点，且λ∈(1,2)，则()(A)点M在线段AB上(B)点B在线段AM上(C)点A在线段BM上(D)O,A,M,B四点一定共线5.设a是实数，且是实数，则a等于（）(A)(B)1(C)(D)2【解析】选B.∵6.（2011·郑州模拟）已知向量要得到函数y=sin(2x+)的图象，只需将f(x)的图象（）(A)向左平移个单位(B)向右平移个单位(C)向左平移个单位(D)向右平移个单位【解题提
3、示】先化简f(x)=·，再判断平移方向和距离.【解析】选C.由已知得f(x)=·=2sinx·cosx=sin2x，y=sin（2x+）=sin2(x+），∴只需把f(x)的图象向左平移个单位.7.（2011·潍坊模拟）设A(a,1)，B(2,b)，C(4,5)为坐标平面上的三点，O为坐标原点，若方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为（）(A)4a-5b=3(B)5a-4b=3(C)4a+5b=14(D)5a+4b=14【解析】选A.由方向上的投影相同，可得：即4a+5=8+5b，4a-5b=3.8.已知其中m、n是实数，i是虚数
4、单位，则m＋ni等于（）(A)1＋2i(B)1－2i(C)2＋i(D)2－i【解题提示】根据复数相等的充要条件，求出m，n.【解析】选C.故m＝2，n＝1，则m＋ni＝2＋i.9.已知向量=(1,n),=(-1,n)，若2-与垂直，则
5、
6、的值为（）(A)1(B)(C)2(D)4【解析】选C.2-=(3,n),由2-与垂直可得：(3,n)·(-1,n)=-3+n2=0
7、
8、=2.【解析】11.(2011·佛山模拟)已知全集U=R，i是虚数单位，集合M=Z（整数集）和的关系韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有()(A
9、)3个(B)2个(C)1个(D)无穷个【解析】选B.∴N={i,-1,-i,2}∴M∩N={-1,2}.故选B.【解析】二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把正确答案填在题中横线上)13.若复数z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中i是虚数单位，则复数(z1-z2)i的实部为______.【解析】(z1－z2)i＝(－2＋20i)i＝－20－2i，故(z1－z2)i的实部为－20.答案:－2014.(2011·连云港模拟)已知向量=(2,4),=(1,1).若向量⊥（+λ），则实数λ=_______.【解析】已知向量
10、=(2,4),=(1,1).向量+λ=(2+λ,4+λ)，⊥(+λ)，则2+λ+4+λ=0，实数λ=－3.答案:－315.如图所示，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ（不包括边界）.若且点P落在第Ⅲ部分，则实数a，b满足a____0，b____0(用“>”，“<”或“＝”填空).【解析】由于点P落在第Ⅲ部分，且则根据实数与向量的积的定义及平行四边形法则知a>0，b<0.答案:><16.向量＝(cos15°，sin15°)，＝(－sin15°，－cos15°)，则
11、-
12、=______.【解析】由题设
13、，
14、
15、＝1，
16、
17、＝1，·＝－sin(15°＋15°)＝∴
18、－
19、2＝＝1＋1－2×(-)＝3.∴
20、－
21、＝答案:三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.（12分）在△OAB中，延长BA到C，使在OB上取点D，使DC与OA交于E，设用，表示向量【解析】因为A是BC的中点，【解析】19.（12分）已知向量=(2-k,-1),=(1,k).（1）若△ABC为直角三角形，求k的值；（2）若△ABC为等腰直角三角形，求k的值.【解题提示】注意按△ABC的直角顶点的可能情况进行讨论.【解析】（1）
22、=(2-k,-1),=(1,k)，∴=(k-1,k+1).若∠A=90°，则若∠B=90°,则无解；若∠C=90°,则综上所述，当k=1时，△ABC是以A为直角顶点的直角三角形；当时，△ABC是以C为直角顶点的直角三角形.（2）当k=
