各大学高数一期末考试题及答案.docx

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1、;.第一学期高等数学期末考试试卷答案一．计算题（本题满分35分，共有5道小题，每道小题7分），1cosxx2x1．求极限lim．sin3xx0解：1cosxx1xcosxx2x1coxs112x22limlimlimsin3xx3x3x0x0x0xln1cosxln1cosxxln12xln2cosx1coxslime31lime1lim2lim2x1cosxx3x2x0x0x0x0xln2limsinx1．x01cosx2x4与x23x2．设x0时，fx是等价无穷小，ftdt与Axk等价无穷小，求常数k与A．20解：3x3xftdt由于当x0时，ftdt与Axk等价无穷小，所以

2、lim0k1．而0x0Ax3x21x31ftdtf3x2233x2f3x233x2x3x31lim0limlimlimlimAxkx0x0Akxk1x02Akxk1x06Akxk1x06Akxk1x32所以，lim11．因此，k1,A1．x06Akxk163．如果不定积分x2axbdx中不含有对数函数，求常数a与b应满足的条件．x12x21解：;.';.x2axb化为部分分式，有将21x2x1x2axbAB2CxD，2x1x11x2x11x2因此不定积分x2axbdx中不含有对数函数的充分必要条件是上式中的待定系数x121x2AC0．即x2axbBDB1x2Dx12x121x2x

3、121x2x121x2．所以，有x2axbB1x2Dx12BDx22DxBD．比较上式两端的系数，有1BD,a2D,bBD．所以，得b1．525．计算定积分min1,x2dx．0解：min1,x2x2x211x211x12x1x2x22x．31x351252213所以，min1,x2dx1dx2xdxx2dx8．00125．设曲线C的极坐标方程为rasin3，求曲线C的全长．3解：曲线rasin3一周的定义域为03，即03．因此曲线C的全长为3322326242323srrdaa．asinsincosdasind20033303;.';.二．（本题满分45分，共有5道小题，每道小

4、题9分），6．求出函数fxsinxlim2n的所有间断点，并指出这些间断点的类型．n12x解：sinxx121sinxx1fxlim2212n11．n2xx220x121与x21是函数fx因此x12的间断点．2limfxlim00，limfxlimsinx1，因此x1是函数fx的第一类可1x1x112x22x22去型间断点．limfxlimsinx1，limfxlim01是函数fx的第一类可去型0，因此x1x1x1x12x2222间断点．7．设是函数fxarcsinx在区间0,b上使用Lagrange（拉格朗日）中值定理中的“中值”，求极限lim．b0b解：fxarcsixn在区

5、间0,b上应用Lagrange中值定理，知存在0,b，使得arcsinbarcsin01．b012b2所以，2．因此，1arcsinbb22122arcsinblimlimlimarcsbinbb222b0b0bb0b2arcsbin令tarcsinb，则有;.';.2t2sin2tt22limsint2lim22tlim4b0bt0tsint0t2tsin2tlim22cos2t11cos2t12sin2t1lim4t312t2limt2lim2t3t0t06t06t0所以，lim1．b0b31x18．设fxey2ydy，求fxdx．00解：111fxdxxfxxfxdx000

6、1x在方程fxey2ydy中，令x1，得0110f1ey2ydyey2ydy0．00再在方程1因此，01xfxe1x2fxey2ydy两端对x求导，得，0111fxdxxfxxfxdxxfxdx00011111x2dxexex2ex2xedxe20001e1．29．研究方程exax2a0在区间,内实根的个数．解：设函数fxax2ex1，fx2axexax2exax2xex．令fx0，得函数fx的驻点x10,x22．由于a0，所以limfxlimax2exxxlimfxlimax2exxx1，1alimx21alim2x1alim21．exexex1xxx;.';.因此，得函

7、数fx的性态x,000,222,fx00fx14ae211⑴若4ae210，即ae2fx2ex1在,0、0,2、2,内4时，函数ax各有一个零点，即方程exax2在,内有3个实根．⑵若4ae210，即ae2时，函数fxax2ex1在,0、0,内各有一个零4点，即方程exax2在,内有2个实根．⑶若4ae210，即ae2时，函数fxax2ex1在,0有一个零点，即方程4exax2在,内有1个实根．10．设函数fx可导，且满足fxxfx1，f00．试求函数fx的极值．解：在方程fxx