知名机构高中讲义[20170901][必修四第1讲三角函数的概念]情景导入.docx

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1、第1讲三角函数的概念第一种方式：学习三角函数有什么用？三角学的发展，由起源迄今差不多经历了三﹑四千年之久，在古代，由于古代天文学的需要，为了计算某些天体的运行行程问题，需要解一些球面三角形，在解球面三角形时，往往把解球面三角形的问题归结成解平面三角形，这些问题的积累便形成了所谓古代球面三角学﹑古代平面三角学；虽然古代球面三角学的发展早于古代平面三角学，但古代平面三角学却是古代球面三角学的发展基础。三角函数在数学中属于初等函数里的超越函数的一类函数。它们本质上是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。三角函数在物理学中也是

2、常用的工具。在实际生活中，有许多周期现象可以用三角函数来模拟，如物理中简谐振动、交流电中的电流、潮汐等，都可以建立三角函数的模型利用三角函数的性质解决有关问题；很多最值问题都可以转化为三角函数来解决，如天气预报、建筑设计、航海、测量、国防中都能找到神奇的三角函数的影子。因而三角函数解决实际问题应用极广、渗透能力很强。思考：火箭飞升问题：一枚运载火箭从地面o处发射，当火箭到达A点时，从地面C处的雷达站测得AC的距离是006km，仰角是45．1s后，火箭到达B点，此时测得BC的距离是6.13km，仰角为60。问：解：在RtOCB中

3、，sin600OB，OB6.13sin6005.31kmBCAO6sin4504.24kmABOBOA(5.314.24)m1.07kmvAB/t1.07/1(km/s)1.07km/s第二种方式：三角函数的起源发展史早期对于三角函数的研究可以追溯到古代。古希腊三角术的奠基人是公元前2世纪的喜帕恰斯。他按照古巴比伦人的做法，将圆周分为360等份（即圆周的弧度为360度，与现代的弧度制不同）。对于给定的弧度，他给出了对应的弦的长度数值，这个记法和现代的正弦函数是等价的。喜帕恰斯实际上给出了最早的三角函数公式表。然而古希腊的三角学

4、基本是球面三角学。这与古希腊人研究的主体是天文学有关。梅涅劳斯在他的著作《球面学》中使用了正弦来描述球面的梅涅劳斯定理。古希腊三角函数与其天文学的应用在埃及的托勒密时代达到了高峰，托勒密在《数学汇编》（SyntaxisMathematica）中计算了36度角和72度角的三角函数的正弦值，还给出了计算和三角函数公式表以及角公式和半角公式的方法。托勒密还给出了所有0到180度的所有整数和半整数弧度对应的正弦值。古希腊文化传播到古印度后，古印度人对三角术进行了进一步的研究。公元5世纪末的数学家阿耶波多提出用弧对应的弦长的一半来对应半

5、弧的正弦，这个做法被后来的古印度数学家使用，和现代的正弦定义一致了。阿耶波多的计算中也使用了余弦和正割。他在计算弦长时使用了不同的单位，重新计算了0到90度中间隔三又四分之三度（3.75°）的三角函数值表。然而古印度的数学与当时的中国一样，停留在计算方面，缺乏系统的定义和演绎的证明。阿拉伯人也采用了古印度人的正弦定义，但他们的三角函数学是直接继承于古希腊。阿拉伯天文学家引入了三角函数公式中的正切和余切、正割和余割的概念，并计算了间隔10分(10′)的正弦和正切数值表。到了公元14世纪，阿拉伯人将三角计算重新以算术方式代数化（古

6、希腊人采用的是建立在几何上的推导方式）的努力为后来三角函数从天文学中独立出来，成为了有更广泛应用的学科奠定了基础。第三种方式：生活中的三角函数在花样滑冰比赛中，运动员的动作是那么优美！尤其是原地转身和空中翻转动作都让我们叹为观止．运动员在原地转身的动作中，仅仅几秒内就能旋转十几圈，甚至二十几圈，因此，花样滑冰美丽而危险．你能算出他们在一次原地转身五圈的动作中转过的角度吗？炎炎夏日，用纸扇驱走闷热，无疑是一种好办法．扇子在美观设计上，可考虑用料、图案和形状．若从数学角度看，我们能否用黄金比例(0.618)去设计一把富有美感的纸扇

7、？唐朝诗人王之涣留给后人的佳作《登鹳雀楼》不仅刻画了祖国的壮丽山河，而且写出了登高望远的襟怀，其中一句“欲穷千里目，更上一层楼”更解释了“只有站得高，才能看得远”这一生活哲理，成为不朽名句.如果从数学角度推理，以自己为中心，要看到千里内（方圆500千米）的景物，应登多少层楼呢？“物以类聚，人以群分”，之所以“分群”、“分类”，是因为同类之间有很多共同点，彼此紧密地联系．我们想想初中学的正弦、余弦和正切之间有什么联系？