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1、21.2解一元二次方程21.2.4一元二次方程的根与系数的关系九年级数学上册1.一元二次方程的求根公式是什么？【想一想】方程的两根x1和x2与系数a、b、c还有其他关系吗？2.如何用判别式b2-4ac来判断一元二次方程根的情况？对一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根.b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根.b2-4ac<0时,方程无实数根.回顾旧知素养目标1.探索一元二次方程的根与系数的关系.2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.填表，观察、猜想【思考】你发现什么规律？①用语言叙述你发现的规律；②x2+px+q=0
2、的两根x1,,x2用式子表示你发现的规律.根与系数的关系探究新知知识点1（1）若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数）的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗？(x-x1)(x-x2)=0.x2-(x1+x2)x+x1·x2=0，x2+px+q=0，x1+x2=-p,x1·x2=q.探究新知【猜一猜】如果关于x的方程的两根是,,则:如果方程二次项系数不为1呢?x1+x2=-p，x1·x2=q探究新知问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律.①用语言叙
3、述发现的规律；②ax2+bx+c=0的两根x1,,x2用式子表示你发现的规律.探究新知-1一元二次方程的根与系数的关系：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1,x2,那么x1+x2=,x1x2=（韦达定理）【提示】能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0常数项探究新知一次项系数二次项系数注意系数符号。一元二次方程的根与系数的关系的应用例1利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.（1）x2+7x+6=0;解：这里a=1,b=7,c=6.Δ=b2-4ac=72–4×1×6=25>0.∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2=-7,x
4、1x2=6.素养考点1探究新知（2）2x2-3x-2=0.解：这里a=2,b=-3,c=-2.Δ=b2-4ac=（-3）2–4×2×(-2)=25>0,∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2=,x1x2=-1.探究新知不解方程，求方程两根的和与两根的积：①x2+3x-1=0②2x2-4x+1=0解：①②原方程可化为：二次项不是1，可以先把它化为1变式题1巩固练习例2已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=2.所以：x1·x2=2x2=即：x2=由于x1+x2=2+=得：k=－7.答：方程
5、的另一个根是，k=－7.利用根与系数的关系求字母的值或取值范围素养考点2探究新知变式：已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=1.所以：x1+x2=1+x2=6，即：x2=5.由于x1·x2=1×5=得：m=15.答：方程的另一个根是5，m=15.巩固练习变式题2已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值.解：设方程的另一个根为x1.把x=2代入方程，得4-2(k+1)+3k=0解这方程，得k=-2由根与系数关系，得x1●2＝3k即2x1＝－6∴x1＝－3答：方程的另一个根是－3,k
6、的值是－2.巩固练习例3不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.解：根据根与系数的关系可知：利用根与系数的关系求两根的平方和、倒数和素养考点3探究新知（1）x1+x2=,(2)x1·x2=,(3),(4).411214巩固练习变式题3设x1,x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则:例4设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值.解：由方程有两个实数根，得Δ=4（k-1）2-4k2≥0即-8k+4≥0.由根与系数的关系得x1+x2=2(k-1),x1x2=k2.∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-
7、1)2-2k2=2k2-8k+4.由x12+x22=4，得2k2-8k+4=4,解得k1=0,k2=4.经检验，k2=4不合题意，舍去.根与系数关系的综合题目素养考点4探究新知求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.【归纳】探究新知解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1∵(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2由根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=解得k1
