研究性课题辉三角.doc

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1、研究性课题：杨辉三角【教学目标】1．进一步探索杨辉三角的基本性质及数字排列规律，形成知识网络；2．培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力，培养创新精神和实践能力；3．了解我国古今数学的伟大成就，增强爱国情感．【教学重难点】培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力。【教学方式】计算机辅助教学，探究式【教学过程】引言:为什么要研究杨辉三角？（教师给学生介绍研究杨辉三角的意义）１．什么是杨辉三角？（师生一起复习杨辉三角）二项式（a+b）n展开式的二项式系数，当n依次取1，2，3．．．时，列出的一张表，叫做二项式系数表，因它形如三角形，南

2、宋的杨辉对其有过深入研究，所以我们又称它为杨辉三角．（Ｐ.71图）２．介绍杨辉——古代数学家的杰出代表(教师介绍杨辉的杰出事迹，使学生了解数学家杨辉及其成就,增强民族自豪感。)杨辉，杭州钱塘人。中国南宋末年数学家，数学教育家．著作甚多，他编著的数学书共五种二十一卷，著有《详解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷、《乘除通变本末》三卷、《田亩比类乘除算法》二卷、《续古摘奇算法》二卷．其中后三种合称《杨辉算法》，朝鲜、日本等国均有译本出版，流传世界。　　“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，此书还说明表内除“一”以

3、外的每一个数都等于它肩上两个数的和．杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪．在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的（BlaisePascal,1623年~1662年）,他们把这个表叫做帕斯卡三角．这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．３．写出杨辉三角的若干行（让学生自己动手写出，为后面的探究做准备。）（用Excel制作杨辉三角，用到第15行，学生自己写出杨辉三角到第15行）4．杨

4、辉三角基本性质(和学生一起回顾杨辉三角蕴含的基本规律）（1）表中每个数都是组合数，第n行的第r+1个数是．（2）三角形的两条斜边上都是数字1，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加，也就是．（3）杨辉三角具有对称性（对称美），即．⑷奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和=．⑸若n为偶数，则中间项的二项式系数最大;若n为奇数，则中间项两项的二项式系数最大。（6）杨辉三角的第n行是二项式（a+b）n展开式的二项式系数，即课后思考：利用数学归纳法证明第六点性质。下面,师生一起继续探究杨辉三角蕴含的数量关系（全班分成若干个小组进行探讨，老师巡

5、回检查，稍后师生一起检查探究结果，教师要适时给予鼓励）。5．杨辉三角有趣的数字排列规律（培养学生观察力，注意观察方法：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多种角度观察）（横看成岭侧成峰，远近高低各不同！）（1）　计算杨辉三角中各行数字的和，看有何规律：　　第1行　　1＋1＝2　　第2行　　1＋2＋1＝4＝22　　第3行　　1＋3＋3＋1＝8＝23　　第4行　　1＋4＋6＋4＋1＝16＝24　　第5行　　1＋5＋10＋10＋5＋1＝32＝25　　　　　　　．．．　　第n行　　分析：第n行数字的和为2n．前n行(含第0行)所有数的和为2n–

6、1，它恰好比第n行的和2n小1．（2）从杨辉三角中一个确定的数的“左（右）肩”出发，向右（左）上方作一条和左斜边平行的射线，在这条射线上的各数的和等于这个数．（再引导学生“斜”向看）例如：10＝1＋2＋3＋4，　　　　20＝1＋3＋6＋10，．．．（引导学生得出一般性的结论）　　　　　一般地，在第m条斜线上（从右上到左下）前n个数字的和，等于第m+1条斜线上的第n个数．　根据这一性质，猜想下列数列的前n项和：　　　　　1＋1＋1＋．．．＋1＝（第1条斜线）　　　　　1＋2＋3＋．．．＋＝（第2条斜线）　　　　　1＋3＋6＋．．．＋＝（第

7、3条斜线）　　　　　1＋4＋10＋．．．＋＝（第4条斜线）　　　　　　　　．．．　　　　　结论：　（第r+1条斜线）（可用组合数性质简单证明）（3）如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？　（继续换一角度“斜”向看）1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．　　　此数列{an}满足,a1=1,a2=1,且an=an-1+an-2(n≥3)　　　这就是著名的斐波那契数列．（以下介绍斐波那契“兔子繁殖问题”增强趣味性）　　中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作《算术之法》中提出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大

8、兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子．设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡．问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？兔子繁殖问题可以从杨辉三角得到答案：右侧从上而下的一