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《《研究性课题：杨辉三角》教学案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、《研究性课题：杨辉三角》教学案教学目标：知识目标：进一步探索杨辉三角的基本性质及数字排列规律，形成知识网络；能力目标：培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力，重点培养创新能力；情感目标：了解我国古今数学的伟大成就，增强爱国情感.教学重点：杨辉三角的基本性质及数字排列规律的探求.教学难点：杨辉三角的基木性质及数字排列规律的探求.教学过程一、课题引入1.引言：为什么要研究杨辉三角？(1)在学习了排列组合概率和数学归纳法等知识后，继续研究杨辉三角的性质，进一步探索杨辉三角的基木性质及其屮蕴含的数量关系，培养发现问题、分析问题、解决问题的能力.同时复习
2、巩固所学知识，发现知识间的联系.(2)通过探究杨辉三角，不断培养创新能力.(创新是发展的不竭动力)(3)了解古今数学家的伟大成就，进行爱国主义教育；2.什么是杨辉三角？二项式(d+b)〃展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3….时，列出的一张表，叫做二项式系数表，因它形如三角形，南宋的杨辉对其有过深入研究，所以我们又称它为杨辉三如行行行行行行行(-01234561.介绍杨辉一一古代数学家的杰出代表杨辉，杭州钱塘人•屮国南宋末年数学家，数学教育家.著作甚多，他编著的数学书共五种二十一卷，著有《详解九章算法》十二卷(1261年)、《日用算法》二卷、《
3、乘除通变本末》三卷、《田亩比类乘除算法》二卷、《续古摘奇算法》二卷.其中后三种合称《杨辉算法》，朝鲜、日本等国均有译本出版，流传世界.“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书屮，此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和.杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪(约公元11世纪)已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪.在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的｛BlaisePascal,1623年~1662年)，他们把这个表叫做帕斯卡三角.这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由
4、此可见我国古代数学的成就是非常值得屮华民族自豪的.二、问题研究观察杨辉三角所蕴含的数量关系1111211331146411510105116152015611721353521711828567056288119368412612684369111045120210252210120451011115516533046246233016555111.杨辉三角基本性质(1)表中每个数都是组合数，第/I行的第卅1个数是c;.ri(n-r)!(2)三角形的两条斜边上都是数字1,而其余的数都等于它肩上的两个数字相加，也就是C；=X：+C爲•⑶杨辉三角具有对
5、称性(对称美)，即C；；=c;「.(1)杨辉三角的第行是二项式S+b)“展开式的二项式系数，即(a+b)n=C仙”+Can~xbx+…+Crnan'rbr+…+C：b”（5）当〃为偶数时，第加亍有奇数项，中间一项最大；当〃为奇数时，第昭亍有偶数项，中间两项相等且最大.这条性质就是二项式系数的性质2.下面，师生一起继续探究杨辉三角蕴含的数量关系，形成知识网络2.杨辉三角有趣的数字排列规律问题1：杨辉三角的第1,3,7,15,...行，即第2©1仗是正整数）行的各个数字有什么特点？分析：观察可知，它们均为奇数.第"行除两端的1之外都是偶数.延伸：除两
6、端的1Z外，哪些行的各个数字是3的倍数？分析：第3、9、……、3恤是正整数）行.问题2：杨辉三角第5行中，除去两端的数字1以外，行数5整除其余所有的数.你能再找岀具有类似性质的三行吗？这时的行数尸是什么数？分析：如2,3,7,11等行.行数戸是质数（素数）.问题3：计算杨辉三角中各行数字的和，看有何规律：第1行1+1=2第2行1+2+1=4=2?第3行1+3+3+1=8=2彳第4行1+4+6+4+1=16=2“第5行1+5+10+10+5+1=32=2'•••第«行C：+C；+C；+…+C；+…+C；：T+C；；=2"分析：第加亍数字的和为2前朋亍
7、（含第0行）所有数的和为2”-1,它恰好比第〃行的和2"小1.问题4：从杨辉三角屮一个确定的数的“左（右）肩”出发，向右（左）上方作一-条和左斜边平行的射线，在这条射线上的各数的和等于这个数.例如：10=1+2+3+4,20=1+3+6+10,...一般地，在第加条斜线上（从右上到左下）前兀个1数字的和，等于第加+1条斜线上的第n个数.根据这一性质，猜想下列数列的前〃项和:1+1+1+•…+1=C”（第1条斜线）1+2+3+…+C：_]=（笫2条斜线）1+3+6+…+C：[=C；（第3条斜线）c；+C；+1+C；+2+…+CL=C：J（n>r）（第
8、严1条斜线）问题5：第1条斜线上的数字构成了常数列1,1,1,…，1…；第2条斜线上的数字依次构成等差数列1,2,3,4,
