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《递推数列的多种解题方法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、递推数列题型归纳解析郭玉竹整理各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解．特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈．本文总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助．类型1解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解．例:已知数列满足，，求．解：由条件知：，分别令，代入上式得个等式累加之，即所以，，．变式:已知数列，且a2k=a2k－1+(－1)k,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,…….（I）求a3,a5；（II）求{an}的通项公式.解：，，即，，
2、……，，……将以上k个式子相加，得将代入，得，．经检验也适合，第17页共17页．类型2解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解．例:已知数列满足，，求．解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，．例:已知，，求．解：．变式:已知数列{an}，满足a1=1，(n≥2)，则{an}的通项解：由已知，得，用此式减去已知式，得当时，，即，又，，将以上n个式子相乘，得．类型3（其中p，q均为常数，）．解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解．第17页共17页例:已知数列中，，，求.
3、解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.变式: 在数列中，若，则该数列的通项_______． （key:）．变式:已知数列满足（I）求数列的通项公式；（II）若数列{bn}滿足证明：数列{bn}是等差数列；（Ⅲ）证明：（I）解：是以为首项，2为公比的等比数列即 （II）证法一： ① ②②－①，得即 ③－④，得 即 是等差数列证法二：同证法一，得 令得设下面用数学归纳法证明 （1）当时，等式成立（2）假设当时，那么这就是说，当时，等式也成立根据（1）和（2），可知对任何都
4、成立是等差数列（III）证明：第17页共17页变式:递推式：。解法：只需构造数列，消去带来的差异．类型4（其中p，q均为常数，）．（或,其中p，q,r均为常数）．解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决．例:已知数列中，,，求．解：在两边乘以得：令，则,解之得：所以变式:设数列的前项的和，（Ⅰ）求首项与通项；（Ⅱ）设，，证明：．解：（I）当时，；当时，，即，利用（其中p，q均为常数，）．（或,其中p，q,r均为常数）的方法，解之得：．第17页共17页(Ⅱ)将代入①得Sn=×(4n－2n
5、)－×2n+1+=×(2n+1－1)(2n+1－2)=×(2n+1－1)(2n－1)．Tn==×=×(－)，所以,=－)=×(－)<．类型5递推公式为（其中p，q均为常数）．解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为其中s，t满足．解法二(特征根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）．例:数列：，，求数列的通项公式．解法一（待定系数——迭
6、加法）由，得，且．则数列是以为首项，为公比的等比数列，于是。把代入，得，，，．把以上各式相加，得．．解法二（特征根法）：数列：，的特征方程是：。,．第17页共17页又由，于是故．例:已知数列中，,,，求．解：由可转化为即或这里不妨选用（当然也可选用，大家可以试一试），则是以首项为，公比为的等比数列,所以,应用类型1的方法，分别令，代入上式得个等式累加之，即，又，所以．变式:已知数列满足（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；（III）若数列满足证明是等差数列（I）证明：是以为首项，2为公比的等比数列（II）解：由（I）
7、得（III）证明： ①②②－①，得即 ③ ④④－③，得即第17页共17页是等差数列类型6递推公式为与的关系式。(或)解法：这种类型一般利用与消去或与消去进行求解。例：已知数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式.解：（1）由得：．于是，所以.（2）应用类型4（（其中p，q均为常数，））的方法，上式两边同乘以得：由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以．变式:已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an解:∵10Sn=an2+5an+6
8、，① ∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)， ②由①－②得10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)
