中考抛物线与内心、外心.doc

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1、抛物线与外心【典例】（2013•武汉）如图，点P是直线l：y=﹣2x﹣2上的点，过点P的另一条直线m交抛物线y=x2于A、B两点．（1）若直线m的解析式为y=﹣x+，求A，B两点的坐标；（2）①若点P的坐标为（﹣2，t）．当PA=AB时，请直接写出点A的坐标；②试证明：对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上能找到点A，使得PA=AB成立．（3）设直线l交y轴于点C，若△AOB的外心在边AB上，且∠BPC=∠OCP，求点P的坐标．【练习】1.已知抛物线，以M（﹣2，1）为直角顶点作该抛物线的内接直角三角形MAB（即M，A，B均在抛物线上）(三

2、角形MAB外心在AB上)，求证：直线AB过定点，并求出该定点坐标．2.设抛物线，O为坐标原点，点A，B是抛物线上的点，如果OA⊥OB(三角形OAB外心在AB上)，求证：直线AB必过定点，并求出定点坐标．P(0,8)322.已知A、B是抛物线y2=4x上的两点，O是抛物线的顶点，OA⊥OB．（I）求证：直线AB过定点M（4，0）；（II）设弦AB的中点为P，求点P到直线x-y=0的距离的最小值．4.如图，抛物线y=ax2+bx﹣3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点D在x轴负半轴上，若点D关于直线AC的

3、对称点E恰好在抛物线上，求点E的坐标；（3）如图2，将抛物线的顶点平移至原点，点R为y轴正半轴上一点，过R作不平行x轴的直线交抛物线于P、Q两点，问是否存在点R使△OPQ的外心在PQ边上？若存在，求点R的坐标？若不存在，请说明理由．32抛物线与三角形内心【典例】（2011•武汉）如图1，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（﹣3，0），B（﹣1，0）两点，（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为M，直线y=﹣2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D，现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上，若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点

4、，求它的顶点横坐标的值或取值范围；（3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q（0，3）作不平行于x轴的直线交抛物线于E、F两点，问在y轴的负半轴上是否存在一点P，使△PEF的内心在y轴上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【练习】1．如图，已知直线y=x+2与x轴交于点A，交y轴于C．抛物线y=ax2+4ax+b经过A、C两点，抛物线交x轴于另一点B．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点P，使△BPC的内心在y轴上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点Q在抛物线上，且有△AQC和△BQC面积相等

5、，求点Q的坐标．322．已知抛物线y=，经过C（7，m），交y轴于点A，交X轴于B、M两点（B在左），D为抛物线的顶点．（1）求D点坐标及直线AC的解析式．（2）E为抛物线的对称轴与直线AC的交点，F与E关于D对称，求证：△ACF的内心在EF上．（3）在y轴上是否存在这样的点P，使△AFP与△FDC相似？若有，请求出所有符合条件的点P的坐标；若没有，请说明理由．　3．如图在直角坐标系中，二次函数y=x2﹣4x+k的顶点是C，与x轴相交于A，B两点（A在B的左边）．（1）若点B的横坐标xB满足5＜xB＜6，求k的取值范围；（2）若tan∠ACB

6、=，求k的值；（3）当k=0时，点D，E同时从点B出发，分别向左、向右在抛物线上移动，点D，E在x轴上的正投影分别为M，N，设BM=m（m＜OB），BN=n，当m，n满足怎样的等量关系时，△ODE的内心在x轴上？　324．（2013•晋江市质检）如图，抛物线y=a（x﹣4）2+4（a≠0）经过原点O（0，0），点P是抛物线上的一个动点，OP交其对称轴l于点M，且点M、N关于顶点Q对称，连结PN、ON．（1）求a的值；（2）当点P在对称轴l右侧的抛物线上运动时，试解答如下问题：①是否存在点P，使得ON⊥OP？若存在，试求出点P的坐标；否则请说明

7、理由；②试说明：△OPN的内心必在对称轴l上．　5．（2011•莆田质检）（1）如图1，抛物线C1：y=ax2+bx+c的开口向下，顶点为D点，与y轴交于点，且经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，若△ABD的面积为8．①求抛物线C1的解析式；②Q是抛物线C1上的一个动点，当△QBC的内心落在x轴上时，求此时点Q的坐标；（2）如图2，将（1）中的抛物线C1向右平移t（t＞0）个单位长度，得到抛物线C2，顶点为E，抛物线C1、C2相交于P点，设△PDE的面积为S，判断是否为定值？请说明理由．　326．在平面直角坐标系x0y中，已知二次函数y=a

8、（x﹣1）2+k的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），AB=4，与y轴交于点C，E为抛物线的顶点，且tan∠ABE=2．（1）求此二次函数的表达式；（2）