傅里叶分析及其应用.ppt

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1、题目：傅里叶分析及其应用答辩人：黄昶昊班级：08110801学号：0811080116指导教师：刘芳目次第一章绪论第二章傅里叶分析的产生与发展第三章傅里叶变换第四章在偏微分方程中的应用结论第一章绪论傅里叶分析是分析学中的一个重要分支，在数学发展史上，虽然早在18世纪初期，就有关三角级数的论述已在D.Bernoulli，D’Alembert，L.Euler等人的工作中出现，但真正重要的一步是法国数学家Fourier迈出的，他在著作《热的解析理论》中，系统地运用了三角级数和三角积分来处理热传导问题。此后，众多数学家，如Dirichlet，Riemann，Lipschitz以及Jordan等都曾从

2、事于这一领域的研究，不仅弥补了Fourier工作中的不足，而且极大地发展了以Fourier命名的级数理论，扩大了傅里叶分析的应用范围，还使得这一理论成为研究周期现象（各种振动，行星运动，波动与通讯等）不可缺少的工具。第一章绪论结构安排傅里叶分析的产生傅里叶分析的发展傅里叶变换的定义傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的主要类型傅里叶变换应用于波动方程傅里叶变换应用于非线性偏微分方程结论第二章傅里叶分析的产生法国科学家傅里叶由于当时工业上处理金属的需要，从事着热传导的研究。1807年向巴黎科学院呈交的题为《热的解析理论》在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出了任意周期函数

3、都可以用三角基来表示的想法第二章傅里叶分析的产生实型三角级数，其中，，是实数列复型三角级数，其中是复数列三角函数系三角函数系（复数形式）第二章傅里叶分析的产生实型Fourier级数实型Fourier级数的系数由公式决定复型Fourier级数复型Fourier级数的系数由公式决定第二章傅里叶分析的发展早期发展概况狄利克雷是历史上第一个给出函数的傅里叶级数收敛于它自身的充分条件的数学家未得到严格的数学论证傅里叶提出任意函数可以用级数表示Dirichlet-Jordan判别法黎曼在《用三角级数来表示函数》的论文中，为了使更广的一类函数可以用傅里叶级数来表示，第一次明确地提出了现在称之为黎曼积分的概

4、念及其性质。对傅里叶系数的积分求解有重要意义第二章傅里叶分析的发展近代以来的发展概况Lebesgue（勒贝格）积分理论发散级数的求和理论推进了黎曼的工作Fejer（费耶尔）求法Luzin(卢津)猜想Lebesgue积分Lebesgue测度新的求和方法重要的进展复变函数论方法经典的空间概念傅里叶级数与单位圆内解析函数的理论有着非常密切的联系第二章傅里叶分析的发展近代以来的发展概况极大函数50年代以后的研究，逐渐向多维和抽象空间推广考尔德伦－赞格蒙奇异积分理论满足偏微分方程等许多数学分支发展的需要标志了傅里叶分析进入了一个新的历史时期研究一类相当广泛的奇异积分算子第三章傅里叶变换傅里叶变换的基本

5、定义考虑定义在的函数，设称：为的Fourier变换。同时、称为的Fourier积分。第三章傅里叶变换傅里叶变换的基本性质（1）线性：傅里叶变换是一种线性运算。即其中a,b均为常数，其证明只需要根据傅里叶变换的定义既可以得出。第三章傅里叶变换傅里叶变换的基本性质（2）奇偶虚实性：则（3）对称性：则（4）尺度变换性：则第三章傅里叶变换傅里叶变换的主要类型简称全称英文全称信号连续性信号周期DTFT离散时间傅里叶变换Discrete-timeFourierTransform离散非周期FT傅里叶变换FourierTransform连续非周期FS傅里叶级数FourierSeries连续周期DFS离散傅里

6、叶级数DiscreteFourierSeries离散周期DFT离散傅里叶变换DiscreteFourierTransform离散非周期第三章傅里叶变换连续傅里叶变换一般情况下，若“傅里叶变换”一词的前面未加任何限定语，则指的是连续傅立叶变换。连续傅里叶变换是一个特殊的把一组函数映射为另一组函数的线性算子。不严格地说，傅里叶变换就是把一个函数分解为组成该函数的连续频率谱。离散傅里叶变换离散时间傅里叶变换是傅里叶变换的一种。它将以离散时间（其中，为采样间隔）作为变量的函数（离散时间信号）变换到连续的频域，即产生这个离散时间信号的连续频谱，值得注意的是这一频谱是周期的。第三章傅里叶变换快速傅里叶变

7、换由于加法运算通常比乘法运算快，所以快速算法的思想就是要尽量减少乘法运算。例如ab+ac=a(b+c)，用左式计算要做两次乘法，而用右式计算则只要做一次乘法。由上式计算时，对每个确定的n，要做N次乘法，总共要做次乘法。若用一下快速算法（把一些相同的项合并），当时，就可以把乘法总数由减少到。当数很大时，计算速度明显提高。这种“快速傅里叶变换”的算法是1965年由Cooley-Tukey提出的第三章傅里叶变换傅里