“一致连续性”概念的引入-论文.pdf

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1、承德民族师专学报1993年增干}J“”一致连续性概念的引入刘晓玲:,函数的一致劝续性是数学分析中的一个重要概念由于有些学生在学习时往往停留在能“”,“”背诵一致l于续的定义和闭区间上的连续函数必一致连续的定理上对一致性以及共_},;川理,,,与连续的碑不深应用起来感到困难所以历来被认为是教学的一个难点笔者在授、、,课时利用分析比较引导的方法对教材内容作了适当的调整和处理收到了较为满意的效,,。果现子介绍以期与同行们讨论内容设计的基本思想、,,,,1从连续函数的概念入手剖析它的内涵指出它的有关局部性质在此墓础上设笠,。“”

2、悬念以激发学生的学习兴趣调动其学习的积极性、,,,,2通过典型例题采用类比的方法引导学生思索使学生逐步深化知识将某些局,、。部性反甘渡到整体将连续概念向一致连续概念迁移转化并推广:具体设计如下。(一)复习连续函数概念以及有关局部性质’,,。,(l)Vx。。IVe注己(xe)>0>0使当。{x一x!<己时。。If(x)一f(x)}<→。,。。f(x)I。x则称在区间上连续结合图形进一步指出己不仅与有关而且与点有关。.。,(2)若以f(x)近f(x)!xx似代林贝l→表明当充分靠近时它们的爪可以小干,,。。。即函数在一点连续

3、则在此点邻近的误差可以任意小(<)。,。。x1x(3)函数在点连续贝1函数在点局部有界,,。,。(二)提出问题引起学生的疑问和兴趣为知识转化作准备(1)对已给的是否,。,6Ix?I存在这样的适用于区间上的一切点(2)在区间上一切可能的误差能否同时达,到任意小了(3)在区间I上由处处局部有界能否推出在I上整体有界?。、。(三)举例使学生在原有知识的基础上向新的知识迁移转化例1证明=0(l)f(x)工在(1)上连续,__x1、a(2)f()-a,1)(0<一一寸上气上连续<1)(证明略)结合证明和上面的图X.........

4、.......1993年10月20日收稿一94一,、。,1)(2)己ex一几)形用类比的方法讨论(中与的关系指出(2)中的函数对(中。,伺题的回答是肯定的我们把具有这种性质的连续性称为一致连续从而引人一致连续的精。确定义,,,,,f(xv。o压6ov对x〔I定义设)为定义在区间I上的函数若<<只要x,一x6,}<就有‘f(x一f(X})。f(x贝1称)在区间I上一致连续。这里对定义的关键之处进行提问和点拨、‘,1连续函数定义与一致连续定义的区别是什么?让学}二士扮出来以检杏共分析比较能力。_、,2i一A:o可乙屯巾一玫土

5、续为内涵(函数的致连续性是对区问上所有的点而言(_,‘,,、l0x一二〔。的点要求的i占。,:是对所有俩址{1巾苗汉与有关这就是对州所有点”。:,‘1,‘,一‘“一xxI:、一x6f(x)f(X)的致要求即不苍在川位置久何只要{}(就有IJ“”。。<)为后继课一致收敛做好铺垫、“”,,。3一致即整体性它反映了函数在整个区间上的整体性质把局部过渡到丝体、_。,,41)己(。x分析(证明中的不仅与有关目与有关不能从整个区间仁考虑具有,。局部性)结合定义让学生归纳非一致连续的定义以锻炼其分析概括能力’‘一,。(四)巩固练习并推

6、J使学尘掌提其概念在推理论证方面的初步应川、例2证明f(x二Sx一,十(1))in在(。二)上一致连续产工f(x、,x1)上(2),一≡一厂非一致连续,_,一。x〔Oc〕O+(3)f(在L一致连续在〔的〕仁非一致连续,。(l)(2)教师做(3)学生做一一’f、x,;在此毕翩卜}甲扭整汰与局部的关不即由)在川少致述续可推出丫价定义,,‘。x‘定点把x看作为点使得f(x)在X连续l(l,),中把不豪于j)而从例)了〕乏之不成盆.,,,‘’。。卜的生续内数来说点点连续可推出一致连续引入一致连:人工}!‘但对刘叹厂{卜!1三,_

7、,‘f(xab〕1f(x。定工l(片l&数)在{31区间〔仁连续贝1)在l泪l大介J〔。,b〕卜致连续。、,,f贬xx=oj2比较开区间(如例1(1)指出关键是)在点的一女性被破坏了)进f(x?1(2)一步提问函数)在开区间内满足什么条件才一致连续呢结合例引人定理,,,,f(二、ab)f(xab)定理)主(内一致连续的充要条件是)在(山连续且十,一。f(X)、“X,存在(作业,忽统、。,3进一步指出上述定理的充分性对无穷区间也成立(留为作业锻炼学生的综合推广,,。能力)但必要性不成立如例2(1)、,。(五)小结一致连续反

8、映函数在区间上更强的连续性强调它与连续的本质区别(六)作业及思考题(略)一95一