《一道好题的多方位解读》.doc

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1、《一道好题的多方位解读》一题可破万题山.一题多解能调动学习的积极性，提高思维的活跃性、灵敏性，增强分析问题、解决问题的能力.本文拟从多方位视角解读2014年重庆A卷填空压轴题.一、原题呈现如图1，正方形ABCD的边长为6，O是对角线AC与BD的交点，点E在边CD上，且DE＝2CE，连接BE，过点C作CF⊥BE于点F，连接OF，则OF的值为.二、解法多探从确定性的角度分析，此图是“死的”、“钢板一块”，整个图形都是确定的，所有元素都可解，包括各条边以及各个角等.为表述方便，手到擒来的一些边角条件先作交代：唯独确定的OF需要“绞尽脑筋”才有望获解.由于此图结构精妙，蕴含丰富的基本图形，

2、故而会产生多种巧思妙解，下面提供若干策略：基本策略一：“憨态可掬”勾股法求边长的最基本思路是：构造直角三角形，采用勾股定理进行计算.点评1：勾股法显得那么的大道至简，不需将问题想的多复杂，通过最经典的“水平—竖直辅助线”，将所求边置于构造的直角三角形中，采用平移思想，计算出所需“水平边”或“竖直边”.这是改“斜”归正、化斜为直思想的妙用，是一种最基本的解题策略，后续的所谓“建系解析法”，包括两点间距离公式等，本质就是勾股法.基本策略二：“慧眼识图”相似法求边长的另一个重要思路是：寻找基本相似型，采用比例进行计算.点评2：此法显得那么的简捷完美，需要一双敏锐的双眼，慧眼识珠，敏锐地洞

3、察到两个“射影型”相似结构，应用两次射影定理，巧妙证出一个比例式，从而得到一对“斜A字型”相似，顺利解决问题.值得一提的是，利用此法，还可以得到∠BFO＝∠BDE＝45°.这是一个有趣的发现，后续的解法中也将会提及这个45°角.点评3：“对顶相似必成对”，这也是一个经典结构，也可以用四点共圆的眼光来看，得到∠BFO＝45°后，出路其实还有很多，除了上面的“斜A字型”相似外，还可以解△BOF，其边BO、BF确定，虽为“SSA”，但仍可解，可作OG⊥BF于点G，利用45°设元，在Rt△OBG中用勾股定理列方程求解，当然计算量偏大些.此外，这里的“对顶相似法”还可以与后续部分方法结合使用

4、，效果更佳.点评4：此法略微“臃肿”，稍显麻烦，之所以提及，是因为正方形中的垂直结构，很容易补成所谓“十字架”结构，如图1－5所示，“垂直必相等”.此结构往往可以使问题的求解异常简单，需要勇于尝试，它与后续的各种简便解法可以结合使用，如“12345模型”等，效果非凡，甚至于还能创出新的解法，余味缭绕，回味无限，值得琢磨;在“十字架”结构的基础上，解法4采取的“斜A字型”相似法，是为了呼应解法3中的“对顶相似型”，其核心结构如图1－7所示，笔者又称其为“双高模型”，可谓“相似成灾”，主要有：①Rt△BOM∽Rt△BFN∽Rt△CFM∽Rt△CON；②△BCM∽△OFM；③△NOF∽△

5、NCB；“套路，套路，一套就有路”，很多时候，数学解题就是在玩套路，同学们认真琢磨吧，争取变成自己的解题套路.点评5：神威盖世“K字型”，它是“垂直处理”的常见策略，而且竟然出现了双“K字型”结构，可谓趣味盎然，巧借设元，妙用比例，导边导角，浑然天成;此法亦可以与其他解法结合使用，比如用四点共圆等发现∠OFB＝45°，将更简洁，当然有无必要性另说.基本策略三：“抽丝剥茧”三角法三角是相似的浓缩精华，基于确定性分析的解三角形，是必备的解题品质，善于借助确定性思想去审题、分析问题，“眼中有角，心中有比”，“导角导边，灵活自如”，这或许也算是师父（苏州王晓峰）教诲“大平面观”的真谛吧！基

6、于确定性思想分析：△BED确定（SAS或SSS）→∠OBF确定（三角比确定）→△OBF确定（SAS）→OF可求，具体如下：点评6：三角法，如抽丝剥茧般，步步为营，将问题解决地很彻底，各边角元素都暴露无遗，解出了问题的本质.这需要较强的分析问题、解决问题的能力，当然也是解题的基本技能之一，尤其是基于确定性思想下的边角分析，要求学生有明确的导角意识，“眼中有角，心中有比”，目光远大，无拘无束，形成传说中的“大平面观”；在导角导边分析的基础上，△OFC（SAS）与△OFE（SSA）都可解，如图1－11及图1－12所示，有兴趣可自行探究；三角法与其他解法结合使用，还会产生很多有趣的解法，譬

7、如：基本策略四：“炫目多彩”旋转法除了用勾股、相似以及解三角形等“静态方法”思考问题外，还需养成用平移、对称、旋转等“动态方法”尝试解决问题的意识与能力.如图1－15，细致分析图形的结构，会发现本题中等腰Rt△OBC形状与大小都确定，BF、CF又好求，而要求的是OF的长，可以考虑利用旋转变换，将由F点出发的三条线段集中在某三角形中.“见不等三爪图，想旋转”，可以绕O、B、C顺转或逆转，一般有六法，故可称“旋转六法”，相对而言，绕直角顶点O旋转，构造所谓“共直角顶点的双