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时间：2020-04-28
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1、已知函数无零点，求正实数a的取值范围．分析这是一个很好分离变量的零点问题，先尝试分离变量，有右侧函数（设为g(x)g(x)）求导后的分子部分为容易发现x=0为其零点,于是推测g(0)=4是右侧函数的一个极值．注意到函数y=ln(x+1)+4是上凸函数，函数是下凸函数，因此所求的取值范围应该是a>4，如图所示．接下来强硬的研究g(x)g(x)可能会比较困难，因此考虑用“不战而屈人之兵”的方式表达．解考虑到f(0)=4−a，因此a>4，否则f(0)≥0，而当x→−1+（即从大于−1的方向逐渐趋于−1）时，f(x)→−∞（严格意义上的证明需要取点，如取，证明f(x0)<0．也可以利用x→+∞
2、时，f(x)→−∞，此时要注意利用进行放缩后再取点．）下面证明当a>4时符合题意．此时有这里用到了设右侧函数为h(x)，则h(x)的导函数是一个单调递减函数，而h′(0)=0h′(0)=0，于是h(x)在x=0处取得极大值h(0)=0，因此h(x)≤0，从而f(x)<0，于是f(x)没有零点，符合题意．方法二
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