例谈二次函数解析式的求解方法

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1、例谈抛物线解析式的求解方法（福建省厦门市禾山中学宋鲁梅）求抛物线的解析式的问题，由于形式多变,灵活性较大,常常让学生感到难于掌握.本文将抛物线解析式的求解方法归纳为六种类型,并例举说明它们的应用.一、三点型若已知抛物线上三点的坐标，则可应用一般式y=x2+bx+c求解。已知抛物线的图像经过A（-2,-2）、B(2,0)、C(0,1)三点求这个二次函数的解析式。二次函数的解析式。解设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c。由已知可得：解得因此所求抛物线解析式为二、顶点型若已知已知抛物线的顶点坐标，或对称轴方程，则可应用顶点式y=a(x-h)2+k求解。例2已知

2、一个二次函数，当x=-1时，取得最大值-3，与y轴的交点为(0,-5)，求此函数的解析式。解∵抛物线的顶点坐标为(-1,-3)，∴可设其解析式为y=a(x+1)2-3。将(0,-5)代入，可得a=-2。∴二次函数的解析式为y=-(x=1)2-3即y=2x2-4x-5。三、交点型若已知抛物线与x轴的两交点坐标，或两点间的距离及对称轴，则应用交点式y=a(x-x1)(x-x2)。例3已知抛物线的图像与x轴交于（-1，0）（3，0）且经过（1，-3），求该抛物线的解析式。解：设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),由条件得-3=a（1+1）（1-3），解得因

3、此所求抛物线的解析式为：即。四、对称点型若已知抛物线上的两个对称点（x1，k）,(x2,k),则可设其解析式为y=a(x-x1)(x-x2)+k。例4已知抛物线图像经过两点A(1,4)和B(5,-4)，它的对称轴为x=2,求该抛物线的解析式。解由条件可得，已知抛物线图像上的点A(1,4)的对称点为(3,4),所以可设其解析式为y=a(x-1)(x-3)+4。再把B(5,-4)代入得：-4=a(5-1)(5-3)+4，解得a=-1故所求抛物线的解析式为y=-(x-1)(x-3)+4,即y=-x2+4x+1五、平移型将抛物线图像平移，发生变化的只有顶点坐标，故可

4、先将原函数解析式化成顶点式，再按照“左加右减，上加下减”的法则，即可得出所求函数解析式。例5将抛物线y=x2+6x+7向右平移4个单位，再向上平移5个单位，求此抛物线的解析式。解原抛物线可变形为y=(x+3)2-2.由题意向右平移4个单位，向上平移5个单位，所求抛物线函数解析式为y=(x+3-4)2-2+5即y=x2-2x+6六、综合型此类问题综合性强，覆盖面广，涉及知识点多，既要求我们掌握前面五种基本类型的抛物线的解析式，还要求我们掌握函数、方程、数形结合、分类、待定系数法等数学思想方法。例6如图，抛物线y=x2+bx+c的图像与x轴只有一个公共点P，与y

5、轴的交点为Q，过点Q的直线y=2x+mx与x轴交于点A，与这个抛物线的图像交于点B，若S△BPQ=3S△APQ，求此抛物线的解析式。分析：此题考查函数与方程间的关系，只要将函数关系转化为方程来解即可。解：由图知m=c，方程组得x1=0，x2=2-b∴Q(0,c),B(2-b,4-2b+c)又S△BPQ=3S△APQ，∴S△PAB=4S△APQ，∴又y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，所以由b2-4c=0得∴又因此所求抛物线解析式为y=x2-4x+4.评注：求抛物线的解析式的方法很多，解题时，要根据题目所给的条件，灵活选用不同方法，能使解题简捷地解决。