预处理子空间迭代法的一些基本概念.doc

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1、.CG算法的预处理技术：、为什么要对A进行预处理：其收敛速度依赖于对称正定阵A的特征值分布特征值如影响收敛性：特征值分布在较小的围，从而加速CG的收敛性特征值和特征向量的定义是什么？（见笔记本以及收藏的网页）求解特征值和特征向量的法：Davidson法：Davidson法是用矩阵(D-θI)-1(A-θI)产生子空间，这里D是A的对角元所组成的对角矩阵。θ是由Rayleigh-Ritz过程所得到的A的近似特征值。什么是子空间法：Krylov子空间叠代法是用来求解形如Ax=b的程，A是一个n*n的矩阵，当n充分大时，直接计算变得非常困难，而Kry

2、lov法则巧妙地将其变为Kxi+1=Kxi+b-Axi的迭代形式来求解。这里的K(来源于作者俄国人NikolaiKrylov姓氏的首字母)是一个构造出来的接近于A的矩阵，而迭代形式的算法的妙处在于，它将复杂问题化简为阶段性的易于计算的子步骤。如取正定矩阵Mk为：Span是什么？:设,称它们的线性组合为向量的生成子空间，也称为由成的子空间。记为，也可以记为什么是Jacobi迭代法：什么是G_S迭代法：请见PPT《迭代法求解线性程组》什么是SOR迭代法：什么是收敛速度：什么是可约矩阵与不可约矩阵？：不可约矩阵（irreduciblematrix）和

3、可约矩阵（reduciblematrix）两个相对的概念。定义1：对于n阶阵A而言，如果存在一个排列阵P使得P'AP为一个分块上三角阵，我们就称矩阵A是可约的；否则称矩阵A是不可约的。定义2：对于n阶阵A=(aij)而言，如果指标集{1，2，...，n}能够被划分成两个不相交的非空指标集J和K，使得对任意的j∈J和任意的k∈K都有ajk=0,则称矩阵A是可约的；否则称矩阵A是不可约的。n阶矩阵A是不可约的当且仅当与矩阵A对应的有向图是强连通的。什么是正交？：在三维向量空间中，两个向量的积如果是零，那么就说这两个向量是正交的。换句话说，两个向量正

4、交意味着它们是相互垂直的。若向量α与β正交，则记为α⊥β。什么是正交矩阵？：如果：AA'=E（E为单位矩阵，A'表示“矩阵A的转置矩阵”。）或A′A=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵，若A为单位正交阵，则满足以下条件:1)AT是正交矩阵2)（E为单位矩阵）3)A的各行是单位向量且两两正交4)A的各列是单位向量且两两正交5)(Ax,Ay)=(x,y)x,y∈R6)

5、A

6、=1或-1倒着写的A和E都是什么意思啊？：反着的E:谓词逻辑存在量词∃x:P(x)页脚.意味着有至少一个x使P(x)为真。n∈N:n是偶数。倒着的A:任意的∧逻辑合取述A∧B为真，如

7、果A与B二者都为真；否则为假。n<4∧n>2⇔n=3当n是自然数的时候。与命题逻辑∨逻辑析取述A∨B为真，如果A或B(或二者)为真；如果二者都为假，则述为假。n≥4∨n≤2⇔n≠3当n是自然数的时候。迭代法与直接法比较优劣是什么？：对称正定的定义是什么？：设M是n阶阵，如果对任非零向量z，都有z'Mz>0，其中z'表示z的转置，就称M正定矩阵。判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。判定定理2：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正。迭代法求解稀疏矩阵时是否有填充元问题？：CG法求解线性矩阵时有无误差问题

8、？：有。误差可能导致收敛变慢甚至无法求解。什么是Krylov子空间法？：设要求解线性代数程组Ax=b，取，其中，且为初始解，从中寻找近似解，使相应的残向量与另某个子空间正交，即则称为Krylov子空间，且上述法称为Krylov子空间法。GMRES法的缺点是什么？：因为它实际上求式AZ=r的解等价在在Krylov子空间中极小化残余向量的

9、

10、.

11、

12、数。但GMRES会有失去超线性收敛性、可能产生停滞、GMRES每迭代一步都要进行Arnoldi过程中都要消耗大量的计算时间、随着子空间维数的增大，引起存储空间过多的需求，每次迭代正交化过程所需代价显著增长

13、等缺点。矩阵右上角有个H，这是什么矩阵呢？（有个T是转置，有个H是什么）:一般来讲A^T表示转置，A^H表示转置共轭，对实矩阵而言是一回事，对复矩阵而言转置共轭比单纯的转置更常用一些，比如酉变换、Hermite型等。什么是正交投影法和斜投影法？：从n维向量空间中找出一个子空间，从其中寻找近似解，子空间常称为搜索空间。如果，则为在中求出一个近似解，显然要有个闲置条件，通常采用个正交性条件，特别地，可以采用残向量与个线性无关向量正交的条件，这个线性无关向量就定义了另外一个维子空间，通常称之为限制子空间或左子空间，同时称该限制条件为Petrov-Ga

14、lerkin条件。当时，称对应的投影法为斜交投影法，否则称为正交投影法。什么是Hessenberg矩阵？：假设一个N*N矩阵A，在i>j+1时，它的a