欢迎来到天天文库
浏览记录
ID:58092375
大小:111.50 KB
页数:9页
时间:2020-04-23
《预处理子空间迭代法的一些基本概念.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、.CG算法的预处理技术:、为什么要对A进行预处理:其收敛速度依赖于对称正定阵A的特征值分布特征值如影响收敛性:特征值分布在较小的围,从而加速CG的收敛性特征值和特征向量的定义是什么?(见笔记本以及收藏的网页)求解特征值和特征向量的法:Davidson法:Davidson法是用矩阵(D-θI)-1(A-θI)产生子空间,这里D是A的对角元所组成的对角矩阵。θ是由Rayleigh-Ritz过程所得到的A的近似特征值。什么是子空间法:Krylov子空间叠代法是用来求解形如Ax=b的程,A是一个n*n的矩阵,当n充分大时,直接计算变得非常困难,而Kry
2、lov法则巧妙地将其变为Kxi+1=Kxi+b-Axi的迭代形式来求解。这里的K(来源于作者俄国人NikolaiKrylov姓氏的首字母)是一个构造出来的接近于A的矩阵,而迭代形式的算法的妙处在于,它将复杂问题化简为阶段性的易于计算的子步骤。如取正定矩阵Mk为:Span是什么?:设,称它们的线性组合为向量的生成子空间,也称为由成的子空间。记为,也可以记为什么是Jacobi迭代法:什么是G_S迭代法:请见PPT《迭代法求解线性程组》什么是SOR迭代法:什么是收敛速度:什么是可约矩阵与不可约矩阵?:不可约矩阵(irreduciblematrix)和
3、可约矩阵(reduciblematrix)两个相对的概念。定义1:对于n阶阵A而言,如果存在一个排列阵P使得P'AP为一个分块上三角阵,我们就称矩阵A是可约的;否则称矩阵A是不可约的。定义2:对于n阶阵A=(aij)而言,如果指标集{1,2,...,n}能够被划分成两个不相交的非空指标集J和K,使得对任意的j∈J和任意的k∈K都有ajk=0,则称矩阵A是可约的;否则称矩阵A是不可约的。n阶矩阵A是不可约的当且仅当与矩阵A对应的有向图是强连通的。什么是正交?:在三维向量空间中,两个向量的积如果是零,那么就说这两个向量是正交的。换句话说,两个向量正
4、交意味着它们是相互垂直的。若向量α与β正交,则记为α⊥β。什么是正交矩阵?:如果:AA'=E(E为单位矩阵,A'表示“矩阵A的转置矩阵”。)或A′A=E,则n阶实矩阵A称为正交矩阵,若A为单位正交阵,则满足以下条件:1)AT是正交矩阵2)(E为单位矩阵)3)A的各行是单位向量且两两正交4)A的各列是单位向量且两两正交5)(Ax,Ay)=(x,y)x,y∈R6)
5、A
6、=1或-1倒着写的A和E都是什么意思啊?:反着的E:谓词逻辑存在量词∃x:P(x)页脚.意味着有至少一个x使P(x)为真。n∈N:n是偶数。倒着的A:任意的∧逻辑合取述A∧B为真,如
7、果A与B二者都为真;否则为假。n<4∧n>2⇔n=3当n是自然数的时候。与命题逻辑∨逻辑析取述A∨B为真,如果A或B(或二者)为真;如果二者都为假,则述为假。n≥4∨n≤2⇔n≠3当n是自然数的时候。迭代法与直接法比较优劣是什么?:对称正定的定义是什么?:设M是n阶阵,如果对任非零向量z,都有z'Mz>0,其中z'表示z的转置,就称M正定矩阵。判定定理1:对称阵A为正定的充分必要条件是:A的特征值全为正。判定定理2:对称阵A为正定的充分必要条件是:A的各阶顺序主子式都为正。迭代法求解稀疏矩阵时是否有填充元问题?:CG法求解线性矩阵时有无误差问题
8、?:有。误差可能导致收敛变慢甚至无法求解。什么是Krylov子空间法?:设要求解线性代数程组Ax=b,取,其中,且为初始解,从中寻找近似解,使相应的残向量与另某个子空间正交,即则称为Krylov子空间,且上述法称为Krylov子空间法。GMRES法的缺点是什么?:因为它实际上求式AZ=r的解等价在在Krylov子空间中极小化残余向量的
9、
10、.
11、
12、数。但GMRES会有失去超线性收敛性、可能产生停滞、GMRES每迭代一步都要进行Arnoldi过程中都要消耗大量的计算时间、随着子空间维数的增大,引起存储空间过多的需求,每次迭代正交化过程所需代价显著增长
13、等缺点。矩阵右上角有个H,这是什么矩阵呢?(有个T是转置,有个H是什么):一般来讲A^T表示转置,A^H表示转置共轭,对实矩阵而言是一回事,对复矩阵而言转置共轭比单纯的转置更常用一些,比如酉变换、Hermite型等。什么是正交投影法和斜投影法?:从n维向量空间中找出一个子空间,从其中寻找近似解,子空间常称为搜索空间。如果,则为在中求出一个近似解,显然要有个闲置条件,通常采用个正交性条件,特别地,可以采用残向量与个线性无关向量正交的条件,这个线性无关向量就定义了另外一个维子空间,通常称之为限制子空间或左子空间,同时称该限制条件为Petrov-Ga
14、lerkin条件。当时,称对应的投影法为斜交投影法,否则称为正交投影法。什么是Hessenberg矩阵?:假设一个N*N矩阵A,在i>j+1时,它的a
此文档下载收益归作者所有