初中奥数-有理数的运算.doc

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1、第1讲有理数的运算有理数范围内可以进行加、减、乘、除（除数不为0）四则运算，对于相同的有理数相乘，我们规定了简捷算法——有理数的乘方运算，除了要熟悉四则运算的法则之外，还应该注意到：1、有理数对加、减、乘、除（除数不为0）四则运算的结果是封闭的（仍是有理数）。2、在有理数范围内、加法交换律、结合律、乘法交换律、结合律都成立，乘法对加法的分配律也成立。3、由于有了正、负数，加法与减法的界限消失，加、减可以互相转换，统一为代数和。如（-3）-7=（-3）+（-7）。在有理数范围内，除法可以转化为乘法，比

2、如（-5）÷7=（-5）。9/979/99/9第2讲有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．（一）括号的使用　　　　在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．1计算：（2）　　分析中学数学中，由于负数的引入

3、，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化．　　　9/9　　　　　注意在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算．2计算下式的值：　　211×555+445×789+555×789+211×445．　　分析直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算．　　解原

4、式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)　　　　　=211×(555+445)+(445+555)×789　　　　　=211×1000+1000×789　　　　　=1000×(211+789)　　　　　=1000000．　　说明加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．　　3计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n．　　分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．如果按照将第一、第二项，第三、第四项，…，分别配对

5、的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法．　　解S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n．　　下面需对n的奇偶性进行讨论：　　当n为偶数时，上式是n／2个(-1)的和，所以有：s=（-1）*n/2　　当n为奇数时，上式是(n-1)／2个(-1)的和，再加上最后一项(-1)n+1·n=n，所以有　　4在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？　　分析与解因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所

6、以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1．　　现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．　　这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-19

7、95+1996)-1997+1998=1．　　所以，所求最小非负数是1．　　说明本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化．　　（二）．用字母表示数9/9　　我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22．　　这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．　　于是我们得到了一个重要的计算公式(a+b

8、)(a-b)=a2-b2①　　这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．　　5计算3001×2999的值．　　解3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8999999．　　6计算103×97×10009的值．　　解原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99999919．　　7计算：　　　分析与解直接计算繁．仔细观察，发现分