高中数学优秀讲义微专题55 数列中的不等关系.doc

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1、第55炼数列中的不等关系一、基础知识：1、在数列中涉及到的不等关系通常与数列的最值有关，而要求的数列中的最值项，要依靠数列的单调性，所以判断数列的单调性往往是此类问题的入手点2、如何判断数列的单调性：（1）函数角度：从通项公式入手，将其视为关于的函数，然后通过函数的单调性来判断数列的单调性。由于，所以如果需要用到导数，首先要构造一个与通项公式形式相同，但定义域为的函数，得到函数的单调性后再结合得到数列的单调性（2）相邻项比较：在通项公式不便于直接分析单调性时，可考虑进行相邻项的比较得出数列的单调性，通常的手段就是作差（与0比较，从而转化为判断符号问题）或作

2、商（与1比较，但要求是正项数列）3、用数列的眼光去看待有特征的一列数：在解数列题目时，不要狭隘的认为只有题目中的是数列，实质上只要是有规律的一排数，都可以视为数列，都可以运用数列的知识来进行处理。比如：含的表达式就可以看作是一个数列的通项公式；某数列的前项和也可看做数列等等。4、对于某数列的前项和，在判断其单调性时可以考虑从解析式出发，用函数的观点解决。也可以考虑相邻项比较。在相邻项比较的过程中可发现：，所以的增减由所加项的符号确定。进而把问题转化成为判断的符号问题二、典型例题例1：已知数列，前项和满足（1）求的通项公式（2）设，若数列是单调递减数列，求实

3、数的取值范围解：（1）时，当时，符合上式（2）思路：由（1）可得：，由已知为单调递减数列可得对均成立，所以代入通项公式得到关于的不等式，即只需，构造函数或者数列求出的最大值即可解：是递减数列，即只需①构造函数：设则所以在单调递增，在单调递减时，即②构造数列：设数列的通项公式时，，即当时，所以的最大项为例2：已知等差数列中，，记数列的前项和为，若，对任意的恒成立，则整数的最小值是（）A.B.C.D.思路：若恒成立，，要找，则需先确定的通项公式得到：，所以，发现无法直接求和，很难变为简单的表达式，所以考虑将视为一个数列，通过相邻项比较寻找其单调性：，进而单调递

4、减，，所以，从而答案：B例3：已知数列满足，若为等比数列，且（1）求（2）设，记数列的前项和为①求②求正整数，使得对于，均有解：（1）或（舍）（2）①②思路：实质是求取到最大值的项，考虑分析的单调性，从解析式上很难通过函数的单调性判断，从而考虑相邻项比较。对于而言，的增减受符号的影响，所以将问题转化为判断的符号。可估计出当取得值较大时，会由正项变为负项。所以只要寻找到正负的分界点即可解：当时，可验证，从而可得设，则当时，递减时，时，均有例4：已知数列的前项和为且，数列满足：，，其前项和为（1）求（2）令，记的前项和为，对，均有，求的最小值解：（1）为公差是

5、的等差数列时，符合上式为等差数列设前项和为（2）思路：依题意可得：，可求出，从而，若最小，则应最接近的最大最小值（或是临界值），所以问题转化成为求的范围，可分析其单调性。单调递增。所以最小值为，而当时，，所以无限接近，故的取值范围为中的离散点，从而求出的最小值解：设，可知递增，当时，若最小，则例5（2014，黄州区校级模拟）数列的前项和，数列满足（1）求数列的通项公式（2）求证：当时，数列为等比数列（3）在（2）的条件下，设数列的前项和为，若数列中只有最小，求的取值范围解：（1）符合上式（2）考虑即数列为等比数列（3）思路：由（2）可求得通项公式，但不知其

6、单调性，但可以先考虑必要条件以缩小的取值范围。若要最小，则最起码要比小，从而先求出满足的必要条件（也许最后结果是其子集），在这个范围内可判定为递增数列，从而能保证最小由（2）可得：是公比为的等比数列若要最小，则必然要即则，所以为递增数列，符合最小的条件所以小炼有话说：在求参数范围时如果不能一次准确列出参数所满足的条件，可先写出其必要条件适当缩小其取值范围，往往会给解题带来新的突破口例6：（2014，文登市二模）各项均为正数的数列，其前项和为，满足，且（1）求数列的通项公式（2）若，令，设数列的前项和为，试比较与的大小解：（1）（舍）或是公比为2的等比数列，

7、解得：（2）思路：由（1）可得，进而可求出，比较大小只需两式作差，再进行化简通分可得。利用函数或构造数列判断出的符号即可解：设，可得为减函数例7：（2014，湖南模拟）已知各项都为正数的数列的前项和为，且对任意的，都有（其中，且为常数），记数列的前项和为（1）求数列的通项公式及（2）当时，将数列的前项抽去其中一项后，剩下三项按原来的顺序恰为等比数列的前项，记的前项和为，若存在，使得对任意，总有恒成立，求实数的取值范围解：（1）①②①②可得：即为公差是的等差数列在令得：解得：（2）思路：本小问实质是在数列背景下的多元恒成立问题，先求的表达式。由已知可得：时，

8、，要解决，首先要解出等比数列的通项公式。时，，进而显然抽去的应为，