高中数学优秀讲义微专题39 传统不等式的解法.doc

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1、微专题39传统不等式的解法一、基础知识1、一元二次不等式：可考虑将左边视为一个二次函数，作出图像，再找出轴上方的部分即可——关键点：图像与轴的交点2、高次不等式（1）可考虑采用“数轴穿根法”，分为以下步骤：（令关于的表达式为，不等式为）①求出的根②在数轴上依次标出根③从数轴的右上方开始，从右向左画。如同穿针引线穿过每一个根④观察图像，寻找轴上方的部分寻找轴下方的部分（2）高次不等式中的偶次项，由于其非负性在解不等式过程中可以忽略，但是要验证偶次项为零时是否符合不等式3、分式不等式（1）将分母含有的表达式称为分

2、式，即为的形式（2）分式若成立，则必须满足分母不为零，即（3）对形如的不等式，可根据符号特征得到只需同号即可，所以将分式不等式转化为（化商为积），进而转化为整式不等式求解4、含有绝对值的不等式（1）绝对值的属性：非负性（2）式子中含有绝对值，通常的处理方法有两种：一是通过对绝对值内部符号进行分类讨论（常用）；二是通过平方（3）若不等式满足以下特点，可直接利用公式进行变形求解：①的解集与或的解集相同②的解集与的解集相同（4）对于其它含绝对值的问题，则要具体问题具体分析，通常可用的手段就是先利用分类讨论去掉绝对值

3、，将其转化为整式不等式，再做处理5、指对数不等式的解法：（1）先讲一个不等式性质与函数的故事在不等式的基本性质中，有一些性质可从函数的角度分析，例如：，可发现不等式的两边做了相同的变换（均加上），将相同的变换视为一个函数，即设，则，因为为增函数，所以可得：，即成立，再例如：，可设函数，可知时，为增函数，时，为减函数，即由以上两个例子我们可以得出：对于不等式两边作相同变换的性质，可将变换视为一个函数，则在变换时不等号是否发生改变，取决于函数的增减性。增函数→不变号，减函数→变号在这种想法的支持下，我们可以对不等

4、式的变形加以扩展，例如：，则的关系如何？设，可知的单调减区间为，由此可判断出：当同号时，（2）指对数不等式：解指对数不等式，我们也考虑将其转化为整式不等式求解，那么在指对数变换的过程中，不等号的方向是否变号呢？先来回顾指对数函数的性质：无论是还是，其单调性只与底数有关：当时，函数均为增函数，当时，函数均为减函数，由此便可知，不等号是否发生改变取决于底数与1的大小，规律如下：时，时，进而依据这两条便可将指对不等式转化为整式不等式求解了（3）对于对数的两个补充①对数能够成立，要求真数大于0，所以在解对数不等式时首

5、先要考虑真数大于0这个条件，如当时，②如何将常数转化为某个底的对数。可活用“1”：因为，可作为转换的桥梁例如：？某些不等式虽然表面形式复杂，但如果把其中一部分视为一个整体，则可对表达式进行简化，进而解决问题，例如：，可将为视为一个整体，令，则，则不等式变为，，两边可同取以2为底对数6、利用换元法解不等式（1）换元：属于化归时常用的一种方法，本质是研究对象的选取，不受题目所给字母的限制，而是选择合适的对象能把陌生问题进行化归，转化为能够解决的问题。如上一个例子中，通过将视为整体，从而将不等式转化为一元二次不等式

6、进行求解（2）在换元的过程中，用新字母代替原来的字母和式子，将问题转化为新字母的问题，从而要先了解新字母的取值范围。即若换元，则先考虑新元的初始范围（3）利用换元法解不等式的步骤通常为：①选择合适的对象进行换元：观察不等式中是否有相同的结构，则可将相同的结构视为一个整体②求出新元的初始范围，并将原不等式转化为新变量的不等式③解出新元的范围④在根据新元的范围解的范围二、典型例题：例1：解下列一元二次不等式：（1）（2）（3）（4）4-1解（1）即与轴的交点为由图像可得满足的的范围为不等式的解集为（2）令，则可解

7、得：作图观察可得：或不等式的解集为（3）令，则中，则与轴无公共点，即恒在轴上方，注：由（1）（2）我们发现，只要是，开口向上的抛物线与轴相交，其图像都是类似的，在小大根之间的部分，在小大根之外的部分，发现这个规律，在解一元二次不等式时便有了更为简便的口诀①让最高次项系数为正②解的方程，若方程有解，则的解集为小大根之外，的解集为小大根之间，若方程无解，则作出图像观察即可（4）解：先将最高次项系数变为正数：方程的根为不等式的解集为例2：解下列高次不等式：（1）（2）12（1）解：则的根作图可得：或不等式的解集为（

8、2）思路：可知，所以只要，则恒正，所以考虑先将恒正恒负的因式去掉，只需解，可得且不等式的解集为小炼有话说：在解高次不等式时，穿根前可考虑先将恒正恒负的项去掉，在进行穿根即可。穿根法的原理：它的实质是利用图像帮助判断每个因式符号，进而决定整个式子的符号，图像中的数轴分为上下两个部分，上面为的部分，下方为的部分。以例2（1）为例，当时，每一个因式均大于0，从而整个的符号为正，即在数轴的上方（这也是为什么