高中数学优秀讲义微专题21 多元不等式的证明.doc

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1、微专题21多元不等式的证明多元不等式的证明是导数综合题的一个难点，其困难之处如何构造合适的一元函数，本章节以一些习题为例介绍常用的处理方法。一、基础知识1、在处理多元不等式时起码要做好以下准备工作：（1）利用条件粗略确定变量的取值范围（2）处理好相关函数的分析（单调性，奇偶性等），以备使用2、若多元不等式是一个轮换对称式（轮换对称式：一个元代数式，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，则称这个代数式为轮换对称式），则可对变量进行定序3、证明多元不等式通常的方法有两个（1）消元：①利用条件代入消元②不等式变形后对某多

2、元表达式进行整体换元（2）变量分离后若结构相同，则可将相同的结构构造一个函数，进而通过函数的单调性与自变量大小来证明不等式（3）利用函数的单调性将自变量的不等关系转化为函数值的不等关系，再寻找方法。二、典型例题：例1：已知，其中图像在处的切线平行于轴（1）确定与的关系（2）设斜率为的直线与的图像交于，求证：解：（1），依题意可得：（2）思路：，所证不等式为即，进而可将视为一个整体进行换元，从而转变为证明一元不等式解：依题意得，故所证不等式等价于：令，则只需证：先证右边不等式：令在单调递减即对于左边不等式：令，则在单调递

3、增小炼有话说：（1）在证明不等式时，由于独立取值，无法利用等量关系消去一个变量，所以考虑构造表达式：使得不等式以为研究对象，再利用换元将多元不等式转变为一元不等式（2）所证不等式为轮换对称式时，若独立取值，可对定序，从而增加一个可操作的条件例2：已知函数．（1）求的单调区间和极值；（2）设，且，证明：解：（1）定义域为令解得：∴的单调增区间是，单调减区间是的极小值为，无极大值（2）思路：所证不等式等价于证，轮换对称式可设，进而对不等式进行变形，在考虑能否换元减少变量证明：不妨设（由于定序，去分母避免了分类讨论）（观察两

4、边同时除以，即可构造出关于的不等式）两边同除以得，令，则，即证：令令，（再次利用整体换元），在上单调递减，所以即，即恒成立∴在上是减函数，所以∴得证所以成立小炼有话说：（1）本题考验不等式的变形，对于不等式而言，观察到每一项具备齐次的特征（不包括对数），所以同除以，结果为或者1，观察对数的真数，其分式也具备分子分母齐次的特点，所以分子分母同除以，结果为或者1，进而就将不等式化为以为核心的不等式（2）本题进行了两次整体换元，第一次减少变量个数，第二次简化了表达式例3：已知函数（a∈R）．（1）若函数在上是增函数，求实数的

5、取值范围；（2）如果函数恰有两个不同的极值点,证明：．解：（1）是上是增函数(注意：单调递增→导数值）设令解得故在单调递减，在单调递增（2）思路：，。所证不等式含有3个字母，考虑利用条件减少变量个数。由为极值点可得从而可用表示，简化所证不等式。解：依题意可得：，是极值点两式相减可得：所证不等式等价于：，不妨设两边同除以可得：，（此为关键步骤：观察指数幂的特点以及分式的分母，化不同为相同，同除以使得多项呈的形式）从而考虑换元减少变量个数。令所证不等式只需证明：，设由（2）证明可得：在单调递减，证明完毕原不等式成立即小炼有

6、话说：本题第（3）问在处理时首先用好极值点的条件，利用导数值等于0的等式消去，进而使所证不等式变量个数减少。最大的亮点在于对的处理，此时对数部分无法再做变形，两边取指数，而后同除以，使得不等式的左右都是以为整体的表达式，再利用整体换元转化为一元不等式。例4：已知（1）讨论的单调性（2）设，求证：解：（1）定义域令，即①则恒成立，为增函数②则，恒成立，为增函数③时，当，则恒成立，为减函数当时，解得：↗↘（2）思路：所证不等式含绝对值，所以考虑能否去掉绝对值，由（1）问可知单调递减，故只需知道的大小即可，观察所证不等式为轮

7、换对称式，且任取，进而可定序，所证不等式，即，发现不等式两侧为关于的同构式，故可以将同构式构造一个函数，从而证明新函数的单调性即可。解：不妨设，，所以由第（1）问可得单调递减，所证不等式等价于：，令，只需证明单调递减即可。设方程在单调递减。即所证不等式成立小炼有话说：同构式以看作是将不同的变量放入了同一个表达式，从而可将这个表达式视为一个函数，表达式的大小与变量大小之间的关系靠函数的单调性进行联结。将不等式转化为函数单调性的问题。双变量的同构式在不等式中并不常遇到，且遇且珍惜。例5：已知函数.（1）当时，讨论函数在上的

8、单调性；（2）如果是函数的两个零点，为函数的导数，证明：解：（1）可判断在单调递减在单调递减（2）思路：可得：，含有三个字母，考虑利用条件减少字母的个数。由可得：两式相减便可用表示,即,代入可得：从而考虑换元法将多元解析式转变为一元解析式进行证明解：是函数的两个零点只需证，令则设下面证恒成立在单调递减，即小炼有话说：（1）体会在用