高中数学优秀讲义微专题97 不等式选讲.doc

《高中数学优秀讲义微专题97 不等式选讲.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、微专题97不等式选讲一、基础知识：（一）不等式的形式与常见不等式：1、不等式的基本性质：（1）（2）（不等式的传递性）注：，等号成立当且仅当前两个等号同时成立（3）（4）（5）（6）2、绝对值不等式：（1）等号成立条件当且仅当（2）等号成立条件当且仅当（3）：此性质可用于求含绝对值函数的最小值，其中等号成立当且仅当3、均值不等式（1）涉及的几个平均数：①调和平均数：②几何平均数：③代数平均数：④平方平均数：（2）均值不等式：，等号成立的条件均为：（3）三项均值不等式：①②③4、柯西不等式：等号成

2、立条件当且仅当或（1）二元柯西不等式：，等号成立当且仅当（2）柯西不等式的几个常用变形①柯西不等式的三角公式：②②式体现的是当各项系数不同时，其“平方和”与“项的和”之间的不等关系，刚好是均值不等式的一个补充。③5、排序不等式：设为两组实数，是的任一排列，则有：即“反序和乱序和顺序和”（二）不等式选讲的考察内容：1、利用不等式的变形与常见不等式证明不等式成立2、利用常见不等式（均值不等式，柯西不等式）求表达式的最值，要注意求最值的思路与利用基本不等式求最值的思路相似，即“寻找合适的模型→将式子向

3、定值放缩（消元）→验证等号成立条件”3、解不等式（特别是含绝对值的不等式——可参见“不等式的解法”一节）二、典型例题：例1：若不等式恒成立，则的取值范围为________．思路：本题为恒成立问题，可知，所以只需求出的最小值即可，一种思路可以构造函数，通过对绝对值里的符号进行分类讨论得到分段函数：，进而得到，另一种思路可以想到绝对值不等式：，进而直接得到最小值，所以，从而答案：例2：若存在实数使得成立，求实数的取值范围思路：本题可从方程有根出发，得到关于的不等式，从而解出的范围解：依题意可知二次方

4、程有解即当时，当时，恒成立当时，综上所述，可得例3：已知函数（1）当时，解不等式（2）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围（1）思路：所解不等式为，可通过分类讨论去掉绝对值进而解出不等式解：（1）当时，当时，当时，综上所述：不等式的解集为（2）思路：若不等式恒成立，可知只需即可，含绝对值，从而可通过分类讨论将其变为分段函数，通过分析函数性质即可得到，所以解：恒成立考虑在单调递减，在单调递增例4：已知都是正数,且,求的最大值思路一：已知为常数，从所求入手，发现被开方数的和为也为常数，所以想到均值

5、不等式中“代数平均数平方平均数”，进而求得最大值解：等号成立当且仅当思路二：由所求可联想到柯西不等式（活用1）：，从而可得：即，所以可知小炼有话说：本题分为两个思路只是想到的常用不等式不同（分别为均值不等式和柯西不等式），但实质上利用柯西不等式是可以证明“代数平均数平方平均数”。证明的过程如下：例5：已知是实数，且，则的最大值是__________思路：考虑将向进行靠拢，由柯西不等式可知，对照条件可知令即可，所以，则答案：小炼有话说：使用柯西不等式的关键在于构造符合条件的形式。首先要选择合适的柯

6、西不等式形式，然后找到所求与已知之间的联系，确定系数在柯西不等式的位置即可求解。例6：已知实数满足，则的取值范围是____________思路：本题的核心元素为，若要求的取值范围，则需要寻找两个等式中项的不等关系，即关于的不等关系，考虑到，联想到柯西不等式，则有，代入可得：解得：，验证等号成立条件：在时均有解。答案：例7：已知均为正数，求证：，并确定为何值时，等号成立思路：观察到不等式左边的项作和且存在倒数关系，右侧为常数，所以可想到基本不等式中互为倒数时，，右侧为一个常数。，从而将左侧的项均转

7、化为与相关的项，然后再利用基本不等式即可得到最小值，即不等式得证解：由均值不等式可得：等号成立条件：例8：已知（1）若，求的最小值（2）求证：（1）思路：从所求出发可发现其分母若作和，则可与找到联系，从而想到柯西不等式的变式：，从而解：由柯西不等式可得：（2）所证不等式等价于：，观察左右的项可发现对左边任意两项使用均值不等式，即可得到右边的某项，即：，三式相加即完成证明证明：由均值不等式可得：三式相加：即小炼有话说：对于求倒数和（即为常数）的最值，有两个柯西不等式的变式可供使用：和，其不同之处在

8、于对分母变形时运算的选择，第一个式子的变形为“分母作和”第二个式子的变形为“分母乘以对应系数再作和”，在解题时要根据题目中不同的定值条件来选择对应的不等式。例9：设，求证：思路：所证不等式中的变量位于指数和底数位置，且为乘法与乘方运算，并不利于不等式变形；所以考虑利用两边同取对数使得指数变为系数，同时将乘法运算转为加法运算。则所证不等式等价于，化简后可得：①，所证不等式为轮换对称式，则不妨给定序，即，则，由①的特点想到排序不等式，则为顺序和，是最大的，剩下的组合为乱序和或反序和，必然较小，所以有