当托勒密定理遇上向量法-论文.pdf

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1、636数学教学2014年第6期当托勒密定理遇上向量法430079华中师范大学国家数字化学习工程技术研究中心彭翕成白2006年研究向量法以来，笔者曾多次思C考如何用向量法证明托勒密定理，但一直没有得到好的解法．《绕来绕去的向量法》在2010年出版时，笔者也在书里坦白失败的经历．可以得到结论：对于四点A、B、、D，不管是平面还是空f,-j内，恒有A舀．D+BC．AD=——-·-÷-——---图1AC．BD．证明：AB·CD+BC·AD=(AC—BC)·证法1：AG．AC=AE。AB+AF．AD舒———一_÷———————÷——

2、—-÷—————}—————————-÷CD+BC·(+)=AC·D+JE}·AC=G．=E．B+F-AD甘AG·(AB+—---—--———·}A．BD．AD1=AE．AB+AF．AD甘AB．EG=但不能由雪．D+B．D=．．甘B．EG：D．GF错：BD推出托勒密定理．因为式子l．BDl≤EGBCsinGFEsin／cABIAC·BDI≤lAB·CDl+IBC·ADl≤AB·GF、BsinGEF‘sinACBD+JE}．D中的第二个不等号无法推导得，此式显然成立．到．证法2：由B=ZEFG，CBA=笔者反复思考，为什么复

3、数法证明托勒密EGF，得ACAB~AEFG,于是而CA=篙=定理容易，而向量法就不行?是不是因为向量回路法只能解决直线段问题，圆是曲线，解决．由托勒密定理可得AG．EF=AE．FG+不了?AF，Pfi~AG．=腮FG．篙+直到笔者写向量法新书《向量、复数与AF·EG·tJ．L~质点》时，反复研究下面例题，终于有了突破．，即AG．AC=．AB+AF．AD．一例1如图1，过平行四边形ABD的顶证法3：设是直径，~JJAG．AC=．点作圆，分别交及D于点G、F，C=AK．(AB+AD)=AE．AB+AF．AD．求证：AG．AC：

4、AE．AB+AF．AD．证法1是希望利用向量的平行四边形法则定理过圆锥曲线的一个焦点且斜率互能力，更新教学观念通过探究使先进的教育为倒数的两弦中点连线必过相应准线与曲线对理念在头脑中生长，在实践中成长．为此我们称轴的交点．教师应努力成为数学探究课堂的创造者，具有7．教后反思比较开阔的数学视野，了解与中学数学有关的在新课改理念下，探究已成为数学教学中扩展知识和内在的数学思想，认真思考其中的很重要的课堂教学方式．学生在探究中提升学一些问题，加深对数学知识的理解，提高数学习水平，在探究中体验学习成功的快乐，在探研究能力，为指导学

5、生进行数学探究做好充分究中得到科学精神的熏陶，有助于发展学生的的准备，并积累足够的教学资源．创新意识和实践能力．教师通过探究提高教学2014年第6期数学教学6—3，}来分解化简，与证法2相比并没有优势．因为)=AB‘AMsinOL=AM·ACsin，十是证法2将三角形相似和托勒密定理一组合，马sinACsinAB。上得到结论．而证法3是最优的，既利用向量的sin(a+)2AM’sin(a+)2AM’正弦定理得NPNQPQ平行四边形法则，又充分利用向量投影的性质，==由托S1．S1nS1n』)nl十)可谓～剑封喉．勒密定理可

6、得AN·PQ=AP·NQ+AQ·ⅣP，仔细反思后发现。用证法3可推出本题结于是AⅣ=AP．而NQ+AQNP=AP．论，而该结论再结合三角形相似就等价于托勒．丽密定理．也就是说，我们找到了托勒密定理的sinfl+Q·而sino~=P-AB+一种证法：AQ’AC'如图l，过平行四边形ABCD的顶点作，ffi~AP-AB+AQ·AC=2AN·圆，分别交B、、D于点E、G、F，求AM．证：AG．EF=AE．FG+AF．EG．证法2：设A是直径，由+：证明：由B=ZEFG，CBA=2AM得AB．AK+AC．AK=2AM．AK，ZEG

7、F，~．ACABc+,AEFG，于是=篙=即P．B+0．C=2AN．AM．．设A是直径，~,IJAG．A：．：看到圆，想到托勒密定理．然后利用正弦定理和面积关系进行边角转化，这也属于自然K．fAB+AD)=AE．AB+AF．AD，所的想法．但不料此题还有更简单更巧妙的解法，以AG．F．嚣：AE．FG．篙+EG．器，只用到一点点向量投影的知识，就轻松解决了．即AG·EF=AE-FG+AF·EG．例3如图3，在中有点0，以点0笔者恍然大悟，只要不死盯着“圆是曲线”，为圆心，O为半径作圆交AB于点D，交A略掉曲线这～因素圆的出现

8、只不过提供了一于点E，A0交BC于点F，若AFC：60。，些相等的角罢了．若联系直径，就是多了一些求证：AD．AB—AE．AC=AO．BC．直角，而直角是向量法最喜欢的，有投影可以用．于是对下面竞赛题也可以快速解答．例2如图2，在AB中，M为中点，点Ⅳ、P、Q分别在AM、AB、AC上，且、P、Ⅳ、Q四点