托勒密定理及应用

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1、中学数学教学参考572003年第9期竞赛园地★数学竞赛初级讲座★托勒密定理及应用湖南师大数学奥林匹克研究所沈文选上依次排列的四点,则1基础知识AB·CD+BC·AD=AC·BD.④托勒密定理圆内接四边形的两组对边乘积之和四边形中的托勒密定理设四边形ABCD为任等于两对角线的乘积.意凸四边形,则AB·CD+BC·AD≥AC·BD.⑤证明:如图1,四边形ABCD当且仅当A、B、C、D四点共圆时取等号.内接⊙O,在BD上取点P,使证明:如图2,取点E使∠PAB=∠CAD,则■ABP∽∠BAE=∠CAD,∠ABE=■ACD,于是∠ACD,则■ABE∽■ACD,即有ABBPADACACC

2、D=AB·CD=AC·=,且=,即ACCDAEABABBEBP.AB·CD=AC·BE.(＊)又■ABC∽■APD,有BC·又∠DAE=∠CAB,有AD=AC·PD.■ADE∽■ACB,亦有AD·BC=AC·ED.(＊＊)上述两乘积式相加,得由(＊)式与(＊＊)式,注意到BE+ED≥BD,有AB·CD+BC·AD=AC(BP+PD)=AC·BD.①AB·CD+BC·AD=AC·(BE+ED)≥AC·BD.注:此定理有多种证法,例如也可这样证:作AE其中等号当且仅当E在BD上,即∠ABD=∠ACD时∥BD交⊙O于E,连结EB、ED,则知四边形BDAE成立.此时A、B、C、D四点共

3、圆.由此,即有为等腰梯形,有EB=AD,ED=AB,∠ABD=∠BDE托勒密定理的逆定理在凸四边形ABCD中,若=θ,且∠EBC+∠EDC=180°,令∠BAC=φ,AC与AB·CD+BC·AD=AC·BD,则A,B,C,D四点BD交于点G,则共圆.11S四边形ABCD=2AC·BD·sin∠AGD=2AC·BD·2综合应用1sin(θ+φ)=AC·BD·sin∠EDC,2.1恰当地选择或作出四边形,是应用托勒密定2理的关键1S四边形EBCD=S■EBC+S■ECD=2EB·BC例1在■ABC中,角A、B、C的对边分别为a、2211b、c.若角A、B、C的大小成等比数列,且b-

4、a=·sin∠EBC+ED·DC·sin∠EDC=(EB·BC+22ac,则角B的弧度数等于多少?(1985年全国高中联1ED·DC)·sin∠EDC=(AD·BC+AB·DC)赛题)2解:如图3,过点C作CD∥·sin∠EDC.AB交■ABC的外接圆于D,连结易知S四边形ABCD=SEBCD,从而有AB·DC+BC·AD,则四边形ABCD为等腰梯AD=AC·BD.22形.由托勒密定理,有b=a+推论1(三弦定理)如果A是圆上任意一点,c·CD.AB,AC,AD是该圆上顺次的三条弦,则22由已知有b=a+c·a,则AC·sin∠BAD=AB·sin∠CAD+AD·sin∠CAB

5、.②CD=a,从而AD=DC=CB,即ADC=2BC,亦即事实上,由①式,应用正弦定理将BD,DC,BC换∠B=2∠BAC.掉即得②式.又因为在■ABC中,∠A、∠B、∠C的大小成等推论2(四角定理)四边形ABCD内接于⊙O,∠B比数列,则公比q==2.从而,∠A+∠B+∠C则sin∠ADC·sin∠BAD=sin∠ABD·sin∠BDC+∠Asin∠ADB·sin∠DBC.③=∠A+2∠A+4∠A=7∠A=π,故∠A=π,∠B7事实上,由①式,应用正弦定理将六条线段都换掉2π即得③式.=7为所求.直线上的托勒密定理若A、B、C、D为一直线例2凸四边形ABCD中,∠ABC=60

6、°,∠BAD中学数学教学参考58竞赛园地2003年第9期=∠BCD=90°,AB=2,CD=1,对角线AC、BD交于1AB·AF·sin(α+β)+AC·AF·sinα点O,如图4,求sin∠AOB.(1996年北京中学生数学2AF竞赛题)=(AB·CD+AC·BD),4R解:因∠BAD=∠BCD=90°,其中R为外接圆半径.则A、B、C、D四点共圆,延长11BA,CD交于P,则∠ADP=又S四边形AMDN=2AM·AD·sinα+2AD·AN·∠ABC=60°.sin(α+β)设AD=x,有AP=3x,DP=1AD[AF·cos(α+β)·sinα+AF·cosα·2=2x.

7、由割线定理,有(2+3x)·sin(α+β)]3x=2x(1+2x).求得AD=x=1AF=AD·AF·sin(2α+β)=AD·BC.BP24R23-2,BC==4-3.2由托勒密定理,有AB·CD+AC·BD=AD·BC.对四边形ABCD应用托勒密定理,有故S四边形AMDN=S■ABC.BD·AC=(4-3)(23-2)+2·1=103-12.例5如图7,在■ABC中,∠A=60°,AB>AC,1点O是外心,两条高BE,CF交于H点,点M,N分又S四边形ABCD=S■ABD+S■BCD=