线性代数几个基本基础概念.ppt

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1、线性代数的几个基本概念(一)引言数学的表述方式和抽象性产生了全面的升华!F几何的抽象化实用直观抽象(a,b，c)按照现行的国际标准，线性代数是通过公理化、系统性表述的，具有很强的逻辑性、抽象性，是第二代数学模型.通常的教学模式概念——相应定理公式——例题求解直觉性丧失！向量表面上只是一列数，但是其实由于它的有序性，所以除了这些数本身携带的信息之外，还可以在每个数的对应位置上携带信息.线性空间中的任何一个对象，通过选取基和坐标的办法，都可以表达为向量的形式.向量是什么？向量是具有n个相互独立的性质（维度

2、）的对象的表示问题矩阵是什么？矩阵的乘法规则怎样定义？矩阵的相似是什么意思？特征值的本质是什么？纯粹的数学理论描述、证明不能令人满意和信服！一、线性空间和矩阵的几个核心概念基本定义:存在一个集合，在这个集合上定义某某概念，然后满足某些性质”，就可以被称为空间.空间为什么要用“空间”来称呼一些这样的集合呢？奇怪!三维的空间由很多（实际上是无穷多个）位置点组成；这些点之间存在相对的关系；可以在空间中定义长度、角度；这个空间可以容纳运动.这里我们所说的运动是从一个点到另一个点的跳跃（变换）,而不是微积分意义

3、上的“连续”性的运动.容纳运动是空间的本质特征“空间”是容纳运动的一个对象集合，而空间的运动由变换所规定.矩阵矩阵是什么？1.矩阵只是一堆数，如果不对这堆数建立一些运算规则.2.矩阵是一列列向量，如果每一列向量列举了对同一个客观事物的多个方面的观察值.3.矩阵是一个图像，它的每一个元素代表相对位置的像素值.4.矩阵是一个线性变换，它可以将一些向量变换为另一些向量.要回答“矩阵是什么”，取决于你从什么角度去看它.矩阵与线性变换在线性空间中，当选定一组基之后，不仅可以用一个向量来描述空间中的任何一个对象，

4、而且可以用矩阵来描述该空间中的任何一个运动（变换）.也即对于任何一个线性变换，都能够用一个确定的矩阵来加以描述..在线性空间中选定基之后，向量刻画对象，矩阵刻画对象的运动.而使某个对象发生对应运动的方法，就是用代表那个运动的矩阵，乘以代表那个对象的向量.用矩阵与向量的乘法施加运动.矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述线性变换不同于线性变换的一个描述对于同一个线性变换，选定一组基，就可以找到一个矩阵来描述这个线性变换；换一组基，就得到一个不同的矩阵.所有这些矩阵都是这同一个线性变换的描述，但又不是线性变

5、换本身.同一个线性变换的矩阵具有性质：若A和B是同一个线性变换的两个不同矩阵，则一定存在非奇异矩阵P，使得即同一个线性变换在不同的坐标系下表现为不同的矩阵，但其本质相同，所以特征值相同.相似矩阵，就是同一个线性变换的不同的描述矩阵.或者说相似矩阵都是同一个线性变换的描述.线性变换可以用矩阵的形式呈现，也就是说，矩阵是形式，而变换——也就是各种映射才是本质，而代数的重要任务之一就是研究各种数学结构之间的关系——也就是映射.维线性空间里的方阵的个维向量如果线性无关，那么它们就可以成为度量维线性空间的一组基

6、，事实上就是一个坐标系体系.矩阵与坐标系矩阵描述了一个坐标系变换坐标从变换的观点来看，对坐标系M施加R变换，就是对组成坐标系M的每一个向量施加R变换.从坐标系的观点来看，对坐标系M的每一个基向量，把它在I坐标系中的坐标找出来,然后通过R组成一个新的（坐标系）矩阵.MIT矩阵既是坐标系，又是变换.数学定义：矩阵就是由行列数放在一起组成的数学对象数学书上的语言是经过千锤百炼的。这种抽象的语言，精准的描述了人类对数学某些局部理解的精微.这些描述的语言可能可以有更完善的改进，就像编写的程序有些地方的语句可以改

7、得更巧妙更坚固一样.数学容许我们每个人按自己的理解方式来理解,这就看你怎样对它加工，使它明确、使它华丽、使它完美.使它更易于理解和使用.这个过程也就是一个人学懂数学的过程.数无形时少直观,形无数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休.--------华罗庚将抽象思维形象化将理论知识实用化二、矩阵的四个基本子空间记：基本定义Columnspacen=5Rowspacem=3r=2设A的行阶梯形为Notice则存在可逆矩阵B使得m=3n=5r=2Pivotrows1and2Pivotcolumns1an

8、d4例1Nullspace有三个自由变量：方程有解：方程组中，若不等于0且有解，则其解不会构成子空间，因为没有0元素.LeftnullspaceLeftnullspace??设由例2行基(3,2,-1)(0,1,2)(1,0,3)N(A)例3则由解得则显然RowspaceallATyColumnspaceallAxNullspaceAx=0LeftnullspaceATy=0C(AT)dimrRnN(A)dimn-rRmC(A)dimrN(AT)dimm