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1、第4章1.先建立理想流体动力学的基本方程—欧拉运动微分方程2.在一种特定的条件下积分可得到拉格朗日积分3.另一特定的条件下积分可得到伯努利积分。4.两个积分的物理意义和实际应用5.导出动量及动量矩定理，及其应用。第四章理想流体动力学本章内容：课堂提问：支持飞机升空，机翼的升力是怎么产生的？为什么在江河、海洋中游泳时不能在靠近船坞等岸边建筑物附近下水？1§4-1欧拉运动微分方程式欧拉运动微分方程式即理想流体动力学基本方程，欧拉于1775年由牛顿第二定律导出。某瞬间在理想流体中棱边为dx,dy,dz的平行六面体，顶点A(x,y,z
2、)处的推导如下：ｐ(x，y，z)压力速度V（x，y，z)yxzdydzdxA(x,y,z)2由牛顿第二定律：Ｆi＝ｍａi(ｉ=x，y，z）（4-1）以ｘ方向为例：表面力沿ｘ向的合力：理想流体，各面上无切应力,质量力在ｘ轴上的投影：ρXdxdydz加速度在ｘ方向的投影：yxzdydzdxA(x,y,z)dvx3将以上各式代入（4-1）式中，并取ｉ＝ｘ，得如下第一式。同理可得其余的两式：即为理想流体的欧拉运动微分方程式。（4-2）用矢量表示为：Z4该方程适用条件:理想流体,即无论流动定常与否，可压缩还是不可压缩均适用。方程（4-2
3、）有三个分量式，再加上连续方程式共四个方程组成一方程组，方程封闭，可求解四个未知函数ｖx,ｖy,ｖz和ｐ。若要使所求的ｖx,ｖy,ｖz,ｐ是某个实际问题的解，还要满足所提问题的边界条件，初始条件。5§4-2拉格朗日积分式欧拉方程是非线性的，很难求得普遍条件下的精确解，只能求得某些特定条件下的解析解。拉格朗日积分式有如下假设条件：（1）理想不可压缩流体：ρ＝const.（3）若运动无旋则存在速度势函数φ，满足所以有：（2）质量力具有势函数：6因此代入欧拉方程有7上式移项可得下面第一式，同理可得另外两式（4-3）括弧内函数不随空间
4、坐标(ｘ，ｙ，ｚ)变化,只可能是时间的函数。所以（4-4）若流体的质量力只有重力，取ｚ轴铅直向上，有U＝－ｇｚ，故gz（4-4'）8为书写简单，引入将Φ对ｘ，ｙ，ｚ求偏导数，仍为速度的投影引入Φ后，式（４-４）可改写成：（４-5）9若流体的质量力只有重力，式（4-4'）可写成：(4-7)或上式为非定常无旋运动的拉格朗日积分式。对于定常无旋运动，式（4－3）括弧内的函数不随空间坐标ｘ，ｙ，ｚ和时间t变化，因此它在整个流场为常数。10(通用常数)对于理想、不可压缩流体、在重力作用下的定常无旋运动，因Ｕ＝－ｇｚ，上式可写成(通用常数
5、)上式为上述条件下的拉格朗日积分式，Ｃ在整个流场都适用的通用常数，因此它在整个流场建立了速度和压力之间的关系。(4-9)11若能求出了流场的速度分布（理论或实验的方法），就能用拉格朗日积分式求流场的压力分布，再将压力分布沿固体表面积分，就可求出流体与固体之间的相互作用力。应用拉格朗日积分式，可解释许多重要的物理现象：如机翼产生升力的原因；两艘并排行驶而又靠得很近的船舶为什么会产生互相吸引的“船吸现象”；以及在浅水航道行驶的船舶为什么会产生“吸底现象”等等。12讨论：begin1.如果理想、不可压缩流体作定常、无旋流动且只有重力
6、作用时，同一水平面上的两点，其速度和压力的关系如何？2.两艘并排行驶而又靠得很近的船舶为什么会产生互相吸引的“船吸现象”。3.浅水航道行驶的船舶为什么会产生“吸底现象”13§4-3伯努利积分式及其应用伯努利积分是欧拉方程在定常运动沿流线的积分假设条件：（１）理想不可压缩，质量力有势；（２）定常运动；（３）沿流线积分。由（1），（2）有14则欧拉方程可写成（1）（2）（3）定常运动流线与轨迹重合，在轨迹上下式成立（4）（5）（6）同理有:15式(1),(2),(3)的两边分别乘以式(4),(5),(6)以第一式为:即（7）同理(
7、8)（9）16将(７),(８),(９）三式相加，考虑到速度的模ｖ2＝ｖx2＋ｖy2＋ｖz2，有:在流线上有(10)括弧内沿流线上的全微分等于零，则沿流线一定是常数:（11）17在重力场中Ｕ＝－ｇｚ，则沿流线:或为（12）拉氏积分和伯氏积分虽在形式上相同，但不同之点有二：Ｃl称为流线常数18(１)应用条件不同。拉格朗日积分只能用于无旋流运动，伯努利积分既可用于无旋运动，又可用于有旋运动。（２）常数Ｃ性质不同。拉格朗日积分中的常数在整个流场中不变，故称为普遍常数，伯努利积分常数Ｃl只在同一条流线上不变，不同流线取值不同，称为流线常
8、数或者说拉氏积分在整个空间成立，而伯氏积分只在同一条流线上成立。19为了工程上的应用，现将伯氏方程推广到有限大的流束。渐变流动:流线近似平行，而且流线的曲率很小的流动，否则称为急变流动。渐变流动特点：项在整个过水（过流）断面上为常数。为简单计，约定取过水断面形心处的数值。流线
