理想流体动力学理论

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1、第四章流体的积分关系式及其应用众所周知，一个固体质点在保守力场中运动时，质点的动能和势能之和保持不变，这就是经典物理中的机械能守恒定律。从数学的观点看，机械能守恒是动量方程的一次积分，称为能量积分。有了能量积分方程，我们在处理保守场中的动力学问题时，就可通过该方程将始、末两态直接联系起来，而不必考虑中间过程的细节。在流体力学中也有类似的积分。前面一章建立了控制流体流动的微分方程组，原则上利用该方程组可以求解满足Stokes假设的Newton流体的任意流动问题。对于理想流体流动问题，可以直接积分微分

2、方程，得到积分方程。利用积分方程求解流动问题显然更为简便，因而这些积分方程得到广泛应用。什么样的流体是理想流体呢？当流体发生剪切变形时总会伴有粘性应力。粘性应力不仅与流体的粘性性质(以粘性系数表征)有关，还依赖于速度梯度，对于低粘（小）流体的流动，如果速度的空间变化不太急剧，粘性应力就比较小。如果粘性应力对所研究的流动问题影响较小，可以忽略流体的粘性，认为流体是无粘的，即理想流体。一般常见的流体，如空气和水，粘性系数很小，在自然界和工程中遇到的这些流体的大多数流动，粘性的影响都可以忽略，都可以近似

3、看作理想流体流动。在流体力学发展的历史上，无粘流理论是流体力学中历史悠久，发展完善，成果辉煌，应用广泛的一个分支领域。§4.1理想流体运动方程的进一步化简理想流体满足Euler方程：，（4-1）或者改写成兰姆—葛罗米柯形式。（4-2）若体力有势，（4-3）其中代表体力势，即单位质量流体的势能。如果体力仅为重力，取轴沿方向，并取为零势能面，则。若流体密度是常量或仅为压强的函数，则称流体是正压流体。若流体正压，，此时可定义压力函数（4-4-1）或。（4-4-2）10由和式（4-4-2）可知。（4-5）

4、综上，对理想、正压流体在保守力场中流动，方程（4-2）可化为。（4-6）§4.2Bernoulli积分及其应用若流动定常，则式（4-6）化为。以点积上式可得，上式表示沿流线不变，即，（4-7）其中代表沿同一条流线不变的常数，不同流线上值不一定相同；符号代表流线。公式（4-7）即定常流动的Bernoulli积分。若流体均质、不可压缩（即为常量），则。此时如果则式（4-7）进一步化为。（4-8）对比公式（4-3）和（4-5）可见与有类似的物理意义，故也称为压能。重力做功转化成重力势能，压强梯度力做功转

5、化为压能。定义（4-9）代表单位质量流体的总机械能。由于定常流动中流线亦为迹线10，因此式（4-8）也表示流体质点在运动过程中机械能守恒。工程上常将式（4-9）表示为，（4-10）该式中各项量纲为长度，分别称为总头、速度头、压力头和位势头。方程应用中需注意的问题：（1）若所有流线都经过一个均匀区域（如孔口出流和均匀来流绕流物体等流动），则在全流场都是常数。（2）从本质上看，伯努利积分（4-7）表述的是流体质点的机械能守恒。因而，对于有明显的机械能损耗（例如水跃）或与外部有机械能交换（例如流经水泵）

6、的流动过程不适用。（3）对于管道内水的层流流动，如果流动不出现分离（管道没有突扩段和急弯等），粘性耗散可以忽略，公式（4-10）近似成立，只是在实际应用中常以管道横截面上平均速度、平均压强和中轴线高度代替式中的、和。如果须考虑粘性耗散，则管道不同位置处的机械能之差等于流体流经该段管道过程中的粘性耗散。例4.1文丘里（Venturi）管是一根两头粗中间细的管子，把它接在要测量的管道中间，可用来测量管中的流量。假设管中流体是均质、不可压缩的，并假设沿管截面速度分布均匀。已知该管粗、细截面面积分别为、，

7、管中流体密度远小于压力计中流体密度，写出流量计算公式。答：设该管横截面、处平均流速分别为和。由Bernoulli积分可知，沿管中轴线。另由连续性方程知。由以上二式解得。压差由U形管压力计测得，，代入上式得体积流量。小孔出流例4.2小孔出流。如图所示，有一很大的容器内盛满水，在容器壁上距水面深度为10处开一小孔，水从小孔流入大气，求小孔射流的流速，设容器和小孔截面积分别为、，且。解：流体不可压缩，根据质量连续性方程有。因，所以，容器内水面下降缓慢，短时间内可忽略水面高度变化，认为流动定常。孔口处的所

8、有流线都经过自由表面，因此根据伯努利积分有考虑到和（代表大气压强），可得。例4.3驻点压力和皮托（Pitot）管测速原理如右图所示，在绕流流动中，流体受阻后在物体前缘某处速度减小为零（然后在压强梯度力的作用下向物体后部流动），该点就叫做驻点，该点处的压力就叫作驻点压力。如果是无穷远均匀来流定常绕流物体，并假设流体均质、不可压缩，重力可略，那么根据伯努利积分有即，其中是静压，称为动压，驻点压力称为总压。驻点处的压力（总压）等于静压和动压之和。皮托管利用驻点压力来测量风速。它由一个圆头