2-7 结构图等效变换及梅逊公式

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1、2-7结构图等效变换及梅逊公式求传递函数时，需要对微分方程组（或变换方程组）进行消元，最后仅剩下输入、输出两个变量，因此中间变量的传递过程得不到反映。若采用结构图，它就能形象地表明输入信号在系统或元件中的传递过程。另外，下面将会看到，利用结构图，也便于求取传递函数。所以，结构图在控制理论中应用十分广泛。一、结构图在第2-6节中，我们曾采用消元法求得图2-24所示网络的传递函数。这里，我们采用结构图的方法求其传递函数。网络的微分方程组如下：对上两式进行拉氏变换，得或（2-54）（2-55）方程（2-54）可用图2-29表示，方程（2-55）

2、可用图2-29表示。将图2-29按信号传递方向结合起来，网络的输入量置于图示的左端，输出量置于最右端，并将同一变量的信号连在一起，如图2-30所示，即得网络结构图。对图2-30进行所谓“等效变换”就可得出网络传递函数，因此网络结构就更为简单,如图2-30所示。关于结构图等效变换的方法将另作介绍。（1）建立控制系统各元、部件的微分方程。（2）对各元、部件的微分方程进行拉氏变换，并做出各元、部件的结构图。（3）按系统中各信号的传递顺序，依次将各元件结构图连接起来，便得到系统的结构图。下面以图1-7所示随动系统为例。把组成该系统各元部件的微分方

3、程（2-18）进行拉氏变换，可得方程组（2-56），其中比较元件（2-56）电位器（2-56）放大器（2-56）电动机（2-56）减速器（2-56）各元、部件的结构图如图2-31所示。然后将各方框图按信号传递顺序连接起来，可得到图1-7所示随动系统的结构图，如图2-32所示。由上讨论可知，系统结构图，实质上是系统原理方框图和数学方程二者的结合。在结构图上，用记有传递函数的方框，取代图2-5原理方框图中的元件名称，也就是用传递函数取代了各元、部件的具体物理结构。可见结构图对系统特性进行了全面描述，它也是一种数学模型。所以，控制系统结构图，是

4、一种描述系统各组成元、部件之间信号传递关系的数学图形。它表示了系统输入变量与输出变量之间的关系，同时也表示了系统各变量之间的运算关系。二、结构图的等效变换结构图是从具体系统中抽象出来的数学图形，主要是为了研究系统的运动特性，而不是研究它的具体结构。从尽可能简便地获得系统传递函数这一点出发，我们完全可以对它进行任何需要的变换，当然，这种变换应该是“等效”的。所谓“等效”，就是不论结构图图形如何变化，变化前后有关变量之间的传递函数保持不变。在实际系统中，任何复杂系统的结构图，都不外乎是由串联、并联和反馈三种基本结构交织组成的。下面依据等效原理

5、推导结构图变换的一般法则。1.串联传递函数分别为和的元件串联连接，其等效传递函数等于该两个传递函数的乘积。假定有两个传递函数分别为和的元件串联在一起，如图2-33所示。现欲将两者合并，用一个传递函数代替，保持和的关系不变，如图2-33所示。由图2-33可写出消去中间变量，则有由图2-33并结合上式可得（2-57）上述结论可以推广到任意个传递函数的串联，如图2-34所示。即：串联后总传递函数等于各个串联传递函数的乘积。2.并联传递函数分别为和的元件并联连接，其等效传递函数等于该两个传递函数的代数和，即（2-58）并联连接及其等效结构图，如图

6、2-35所示。由图2-35可写出消去中间变量，得可见，则有同样可将上述结论推广到个传递函数的并联，如图2-36。其等效传递函数为个传递函数的代数和。3.反馈连接图2-37为反馈连接的一般形式，其等效变换如图2-37所示。由图2-37可写出消去中间变量、，得式中分母上的“加”号，对应于负反馈连接；“减”号对应于正反馈连接。若令（2-59）则称为闭环传递函数。若反馈通道的传递函数，则系统（图2-37）称为单位反馈系统，此闭环传递函数为对于一般简单系统的结构图，利用上述等效变换法则就可方便地求得系统的总传递函数。例如，以图2-30所示的网络结构

7、图为例，利用传递函数串联法则，就可求的如图2-38的简化等效结构图。然后利用反馈法则，求得网络总传递函数，如图2-38所示。又如对于图2-32所示随动系统的结构图，利用同样的方法，可得等效结构图及系统闭环传递函数。如图2-39所示。图中。由于实际系统往往比较复杂，信号传递互相交叉，不能直接利用上述法则来简化系统。对这种复杂结构，首先要设法解决相互交叉的问题，即必须把求和点、引出点作等效移动，然后才能应用上述法则。4.求和点移动（1）求和点之间的移动：图2-40为相邻两个求和点前后移动的等效变换。因为总输出是、、三个信号的代数和，故更换相邻

8、两个求和点的位置，不会影响总的输出与输入之间的关系。变换前：总输出信号变换后：总输出信号两者完全相同。因此，相邻求和点可以随意变换位置。这对多个相邻求和点也是正确的。（2）求和点前（或后）移：