2-7结构图等效变换及梅逊公式

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1、2-7结构图等效变换及梅逊公式求传递函数吋，需要对微分方程组(或变换方程组)进行消元，最后仅剩下输入、输出两个变量，因此中间变量的传递过程得不到反映。若采用结构图，它就能形象地衣明输入信号在系统或元件中的传递过程。另外，下而将会看到，利用结构图，也便于求取传递函数。所以，结构图在控制理论中应用十分广泛。一、结构图在笫2-6节中，我们曾采用消元法求得图2-24所示RC网络的传递函数。这里，我们采川结构图的方法求其传递函数。RC网络的微分方程组如下：ur=Ri+ucE阿Ue对上两式进行拉氏变换，得驭($)-”3+)R(2-54)图2・29方程(2-

2、54),(2-55)的结构图SG)=丄心)Cs方程(2-54)可用图2~29(6/)表示，方稈2-29(b)表示。将图2-29(d)(b)按信号传递方向结合起來，网络的输入量置于图示的左端，输出量置于最右端，并将同--变量的信号连在一起，如图2-30(d)所示，即得RC网络结构图。(2-55)(2-55)nJ用图对图2-30(°)进行所谓“等效变换”就可得出网络传递函数，因此网络结构就更为简单,如图2-30(6)所示。Lr(S)1Lc(s)RC$+1图2-30网络的结构图关于结构图等效变换的方法将另作介绍。（1）建立控制系统各元、部件的微分方程

3、。（2）对各元、部件的微分方程进行拉氏变换，并做出各元、部件的结构图。（3）按系统中各信号的传递顺序，依次将各元件结构图连接起来，便得到系统的结构图。下面以图1-7所示随动系统为例。把组成该系统各元部件的微分方程（2-18）进行拉氏变换，可得方程组（2-56a~e）,>比较元件(2-5667)电位器(2-56/?)放人器U(s)=k2UG(s)(2-56c)电动机$(7>+lD=K“Q(s)■(2-56d)减速器2(心0(S)(2-56(?)各元、部件的结构图如图2-31所示。然后将各方框图按信号传递顺序连接起來，可得到图1-7所示随动系统的结

4、构图，如图2-32所示。d(S)0AS}*•比（5）K一fft(5)(fl)(Q)U（5）Km恥）,$心+1)0)3)tL(s)8($)1(c)&c⑶(e)图2-31方程（2-56）子式结构图由上讨论可知，系统结构图，实质上是系统原理方框图和数学方程二者的结合。在结构图上，川记有传递函数的方框，取代图2-5原理方框图屮的元件名称，也就是川传递函数取代了各元、部件的具体物理结构。可见结构图対系统特性进行了全面描述，它也是一种数学模型。所以,控制系统结构图，是一种描述系统各组成元、部件之间信号传递关系的数学图形。它表示了系统输入变量与输出变量之间

5、的关系，同时也衣示了系统各变量之间的运算关系。图2-32图1-7系鸵吉构图二、结构图的等效变换结构图是从具体系统中抽象出來的数学图形，主要是为了研究系统的运动特性，而不是研究它的具体结构。从尽可能简便地获得系统传递函数这一点出发，我们完全可以对它进行任何需要的变换，当然，这种变换应该是“等效”的。所谓“等效”，就是不论结构图图形如何变化，变化前后有关变量之间的传递函数保持不变。在实际系统中，任何复杂系统的结构图，都不外乎是由串联、并联和反馈三种基本结构交织组成的。卞而依据等效原理推导结构图变换的i般法则。1.串联传递函数分别为G2）和G2G）的

6、元件串联连接，其等效传递函数等于该两个传递函数的乘枳。图2・33串连结构的等效变换R($)(Q)图2-34〃个串连结构的等效变换假定有两个传递函数分别为G

7、（s）和G2（$）的元件串联在一起，如图2-33（a）所示。现欲将两者合并，用一个传递函数G（$）代替，保持/?（$）和C（$）的关系不变，如图2-33（fe）所示。由图2-33（g）可写出t/（5）=G,（5）7?（5）C（5）=G2（5）t/（5）消去中间变量"）,则有C（5）=G1（5）G2（5）/?（5）由图2-33少）并结合上式可得G（s）=G｝（5）G2（5）（2-57）上述结论

8、可以推广到任意个传递函数的串联，如图2-34所示。即：串联后总传递函数等于各个串联传递函数的乘积。2.并联传递函数分别为$（$）和62（5）的元件并联连接，其等效传递函数等于该两个传递函数的代数和，即G（$）=G］（$）±G2（$）（2-58）并联连接及其等效结构图，如图2-35所示。由图2-35（°）可写出C2W=G2（5）/?（5）C（5）=C,（5）±C2（5）消去中间变量，得G(5)=G1(5)±G2(5)(0)(b)图2-35并联结构的等效变换图2-36川个并联结构的等效变换C(s)=[GSs)±G2(s)]R(s)可见，则有同样可将

9、上述结论推广到“个传递函数的并联，如图2-36o其等效传递函数为〃个传递函数的代数和。1.反馈连接图2-37(a)为反馈连接的一般形式，其等效变换如图