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《《高等数学》教学课件：1_8__函数的连续性与间断点.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§1.10函数的连续性 与间断点函数的连续(continuity)函数的间断点小结思考题作业(discontinuouspoint)第一章函数与极限11.函数的增量自变量称差为自变量在的增量;函数随着从称差为函数的增量.如图:一、函数的连续性函数的连续性与间断点2连续,2.连续的定义定义1设函数f(x)在内有定义,若则称函数f(x)在x0处并称x0为函数f(x)的连续点.自变量在x0点的增量为无穷小时,函数的增量也为无穷小.形象地表示了连续性的特征.采用了无穷小定义法函数的连续性与间断点3例证都是连续的.类似可证,是连续的.即函数的连续
2、性与间断点4定义2若则称函数f(x)在x0处连续.把极限与连续性联系起来了,且提供了连续函数求极限的简便方法——只需求出该点函数特定值.5例证定义2试证函数处连续.函数的连续性与间断点6连续性f(x)在处有定义;(1)(2)(3)三个要素:存在;函数的连续性与间断点73.左、右连续左连续(continuityfromthe右连续(continuityfromtheleft);right).左连续右连续8定理1此定理常用于判定分段函数在分段点处的连续性.函数的连续性与间断点9例解右不连续.所以左连续,函数的连续性与间断点10例解函数的连续
3、性与间断点114.连续函数(continousfunction)与连续区间上的或称函数在该区间上连续.在区间上每一点都连续的函数,称该区间在开区间右连续左端点右端点这时也称该区间为左连续连续函数,连续区间.内连续函数的连续性与间断点12例如,有理整函数(多项式)内是连续的.因此有理分式函数在其定义域内的每一点有理分式函数只要都有因此有理整函数在都是连续的.函数的连续性与间断点13定义4出现如下三种情形之一:二、函数的间断点及其分类无定义;不存在;间断点.函数的连续性与间断点14间断点分为两类:第二类间断点:第一类间断点:及均存在,及中至
4、少一个不存在.若称为可去间断点.若称为跳跃间断点.若其中有一个为振荡,若其中有一个为称为无穷间断点.称为振荡间断点.函数的连续性与间断点15例由于函数无定义,故为f(x)的间断点.且皆不存在.第二类第二类间断点:至少有且是无穷型间断点.一个不存在.函数的连续性与间断点16例有定义,不存在,故为f(x)的间断点.第二类且是无穷次振荡型间断点.之间来回无穷次振荡,函数的连续性与间断点17例有定义,故为f(x)的间断点.第一类的第一类间断点.则点x0为函数f(x)的且是跳跃间断点.跳跃型间断点(Jumpdiscontinuity).及均存在,
5、则点x0为函数的连续性与间断点18函数的连续性与间断点例讨论函数解为函数的间断点.第一类且是可去间断点(removablediscontinuity).连续.处无定义,可去间断点.处在1=x19则可使x0变为连续点.注对可去间断点x0,如果于A,(这就是为什么将这种间断点称为使之等可去间断点的理由.)补充x0的函数值,或改变函数的连续性与间断点20如补充定义:如但函数的连续性与间断点21可去型第一类间断点跳跃型无穷型无穷次振荡型第二类间断点函数的连续性与间断点22总结两类间断点:第一类间断点:跳跃型,第二类间断点:无穷型,可去型无穷次振
6、荡型极限与连续之间的关系:f(x)在x0点连续f(x)在x0点存在极限函数的连续性与间断点23三、初等函数的连续性241、四则运算的连续性定理1例如,252、反函数与复合函数的连续性定理2严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.例如,反三角函数在其定义域内皆连续.26定理3意义1.极限符号可以与函数符号互换;27定理4注意定理4是定理3的特殊情况.例如,283、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.★★★29定理5基本初等函数在定义域内是连续的.★(均在其定义域内连续)定理6一切初等函数在其定义区间内都是连续
7、的.定义区间是指包含在定义域内的区间.30
