函数概念发展的四个重要时期.doc

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1、函数概念发展的四个重要时期一、函数概念的萌芽时期函数思想是随数学开始研究事物的运动变化而出现的。早期的数学是不研究事物的运动变化的。古希腊数学家亚里斯多德曾指出，数学研究的是抽象的概念，而抽象概念是来自事物静止不动的属性。例如数学中的数、线、形，这些数学对象都不包括运动，运动变化是物理学研究物体的对象，等等。受其影响，直到14世纪，数学家才开始研究物体的运动问题。到了16世纪，由于实践的需要，自然科学转向对运动的研究，自然各种变化和各种变化着的量之间的关系成为数学家注意的对象。伽利略是最早开展这方面研究的科学家之一，

2、在他的著作中多处使用比例的语言表达了量与量之间的依赖关系，例如从静止状态自由下落的物体所经过的距离与所用时间的平方成正比，等等。这正是函数概念所表达的思想意义。16世纪法国数学家笛卡尔在研究曲线问题时，注意到量的变化及量之间的依赖关系，在数学中引时了变量思想，成为数学发展的里程碑，也为数函数的产生准备了思想基础。但直到17世纪下半期，牛顿-莱布尼茨建立微积分时还没有明确的函数概念。函数作为数学术语是由德国数学家莱布尼茨在1673年引进的，当时莱布尼茨指的是曲线上的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂结的长度等，凡与曲线上的

3、有关的量，称为函数。从这个定义可以看出，莱布尼茨利用了几何概念，在几何的范围内提示了某些量之间的依存关系。总之，18世纪以前，函数的研究多从属于曲线的研究，带有“几何”烙印的莱布尼茨的函数定义厅以说是这个时期函数思想发展的总结。二、函数概念的“解析定义”时期18世纪微积分的发展促进了函数概念“解析定义的发展。出生于伯努利家族的雅各.伯努利和约翰.伯努利两兄弟，在数学的许多领域有过建树，他们不但整理加工了莱布尼茨零碎而又是梗概性的文章，而且他们对函数概念的发展也做了创造性的工作。在研究积分计算问题上，约翰.伯努力认为：

4、积分计算的目的是给定变量的微分中，找出变量本身之间的关系。在对待”找出变量本身之间的关系”.的表示上，显然用莱布尼茨定义的函数表示是困难的。于是1718年约翰.伯努利从解析的角度给出了函数的定义：变量的函数就是变量和常数以任何方式组成的表达式，记作X或ζ。其后，他对函数记号又作了改进，用φx表示x的函数。记号f(x)是瑞士数学家欧拉于1734年引进的。欧拉是18世纪最伟大的数学家，他的研究涉及数学的许多领域，在欧拉时代，主要运算关系是算术运算、三角运算、指数运算和对数运算，欧拉把由这些运算结合起来的变量和常数而得到的

5、式子称为解析表达式。在此基础上，欧拉把伯努利的函数定义改进了一步，1748年欧拉在他的《无穷小分析引论》中写到：变量的函数是一个解析表达式，它是这个变量和一些常数以任何方式组成的。欧拉又称这种“解析函数”。另外，欧拉在这部著作中还定义了多元函数、单值函数与多值函数，这对函数意义的认识起到很重要的作用。1750年左右，在研究弦振动问题时，欧拉发现所有的解析式都能用一条曲线表示，但并不是所有的曲线都能用一条曲线来表示，又由于当时积分运算的发展以及对椭圆积分的进一步认识，欧担意识到原的函数定义有些狭隘，于是他相继给出了比上

6、述定义更广泛的函数定义：若某些量以如下方式依赖于另一些量，即当后者变化时前者也随之而变化，则称前量是后量的函数。函数概念虽经伯努利、欧拉等人的努力，其意义有了较大的扩展，但在当时，人们对函数的认识普遍是：(1)连续曲线所给的函数是连续函数，并一定能由一个解析式来表示；（2）把不连续的曲线或折线分成多条曲线或折线而建立的函数，不是一个函数而是多个函数的集合，故绝不可能用一个解析式表示。能用一个式子表示的函数称作真函数，其余的都叫伪函数；（3）基于对多项式相等的认识，认为对区间[a,b]上的一切值，恒有相同函数值的两个函

7、数是相同的，从而对[a,b]以外的x的值，这两个函数的值也相待；（4）只有周期性曲线才能用周期函数（三角类）表示。对于上述认识，1807年中，法国数学家傅立叶在他的《热的分析理论》一文中，举了如下例子来说明“由不连续的线给出的函数能用一个三角函数式来表示”。函数是不连续的。如果令n=1,2,3……，则此函数可用所得到的无穷多个子工来表示。傅立叶还证明了这个不连续线可唯一地用y=+++……来表示。这说明（1）函数能否用唯一的一个式子表示，作为区分函数的真伪的标准，显然是不合理的；(2)直线y=与式子y=+++……所表示

8、的线，在0