数学概念发展.doc

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1、未知數概念發展的可能架構台中縣清水國小陳維民壹、前言若以歷史演進的觀點來看代數的發展，可以一窺代數語言符號化的過程。王懷權(民76)就指出符號的功能之一，在於使數學家將煩長的敘述化成簡短的式子，而此功能正是數學語言威力最顯著的根源之一。但由於代數語言的符號化，使得代數更具抽象性；這也使得學生在學習代數語言時，產生了許多的問題。MacGregorandStacey(1993)歸納了建立代數式時所可能的錯誤原因包括⑴語法上的直譯(syntactictranslation)⑵代數字元的迷失(misinterpretationofalgebralette

2、rs)(3)與自然語言的衝突(interferencefromnaturallanguage)»所以他在設計題目時，刻意避開這些可能產生錯誤的原因，結果發現學生還是產生了許多的錯誤。針對上述的現象'MacGregor,Stacey覺得應該對學生的解題行為提出新的解釋，他觀察學生的錯誤解題表現捉出學生的認知模型，他認為學生試圖冉表現被比較的不等量(comparedunequalquantities)，而此一模型是適用於一般性的語言但卻不適用於數學語言。HerscovicsandKieran(1980)則針對兒童心中的方程式(equation)進行探

3、討'發現(1)學生對符號的解釋與成人不同(2)學生將等號視為運算後的結果(3)學生從算術中的舊經驗來建立方程式概念。所以他建議在教學時，數學內容(mathematicalcontent)與數學格式(mathematicalform)的差異應當受到注意，且必須有所區分。Steffe(1989)更是對代數的教學提出以下的兩大觀點:⑴數學教師應常導引學生的學習而非告訴學生如何做數學，所以教師必須知道學生是怎麼學數學的，而學生冃前的能力又是處於什麼階段(2)數學教師必須佈置一個適合學生冃前能力的學習環境，而環境中包括某些耍素是需耍學生主動去改變的。甯自強

4、(民82)則認為教學的目的在於使兒童建構解題的活動類型，其次，藉由交互辯證的過程，使解題活動類型的格式能滿足溝通上的需求。教學的情境是兒童自行建構的，而教學內容的重點範圍在於學習者的可能建構區，特別必須拒出的是，學習者的可能建構區的組織是心理學的，不一定是數學的。所以在教學上，清楚的知道兒童現在的概念，並給予適當的數學情境，是教學內容的重點，因而提出兒童未知數概念的發展模型是當務之急。貳、未知數的意義本節擬從未知數的歷史淵源、未知數的數學結構及未知數在心理層面的考量三小節來說明未知數的意義。一、未知數的歷史淵源數學語言的語法闡述運算元、括號、符號

5、等在邏輯上與次序上的規定，一串符號如果按照語法來排列，他將有特殊的意義，否則可能會有其他的意義或無意義，亦即，特殊的語法是蘊含著某一特殊的語意。代數語言在不同的時期有著不同的表徵方式，也蘊含著不同的意義，所以在研究代數語言時，若能先探討其歷史的淵源，從種族的發展史中或許我們能更清楚的瞭解代數所蘊含的意義。探討代數歷史演進的研究很多(Hai-perJ987;Kieran,1992;®文敏，民74；王懷權，民76)。並且有著一致的看法，他們認為代數的發展史在符號上可分為三個時期°第一個時期'逐字式(rhetoricalalgebra):Diophan

6、tus(250A.D.)之前，以口語化的自然語言來描述解特定方程式的過程，並沒有使用特殊的符號或記號來表示未知數。第二個時期，簡字式(syncopatedalgebra):Diophantus(250A.D.)之後，以符號來代表未知量(unknownquantities)，例如文藝復興時期'使用p代表加'm代表減。但只求特定方程式的解，並沒有求出方程式的一般解'例如把axx+bx二c和nxx+c二bx和bx+c二axx視為不同的方程式。第三個時期5符號式(symbolicalgebra)•Vieta(1549J603)以符號代表某一給定的數(gi

7、ven)而求出方程式的一般解?例如以axx+bx+c二0代表所有的一元二次方程式。二、未知數的數學結構師專數學第六冊中曾對未知數定理描述如下:「X雖是個未知數'一個尚且不知道等於多少的數，但是只要他是一個數，他就能與其他的數，一起做運算(包括四則運算)而且順從運算的所有規則」。(引自國立編譯館，民66，pl53)既然未知數能與其他的數，一起做運算(包括四則運算)而且順從運算的所有規則，則探討未知數的性質時，對數的運算性質亦要有所瞭解，以下介紹數的四項性質：1.三一律：A、B二數恰有下列一種關係AB2•等價關係：A、B、C三數滿足

8、⑴A=A(反身性)(2)若A=B，則B=A(對稱性)(3)若A=B，且B=C，則A=C(遞移性)3•數的運算關係：A、B、C三數滿足(1