2021版高考数学一轮复习第七章不等式第4讲基本不等式教学案理北师大版.doc

《2021版高考数学一轮复习第七章不等式第4讲基本不等式教学案理北师大版.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第4讲　基本不等式一、知识梳理1．基本不等式≤(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0．(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)＋≥2(a，b同号)．(3)ab≤(a，b∈R)．(4)≥(a，b∈R)．以上不等式等号成立的条件均为a＝b.3．算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．常用结论已知x>0，y>0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y

2、时，x＋y有最小值是2.(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)二、教材衍化161．设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为________．解析：因为x>0，y>0，所以≥，即xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.答案：812．若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.解析：设矩形的一边为xm，则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，所以y＝x(10－x)≤＝25，当且仅当x＝10－x，

3、即x＝5时，ymax＝25.答案：25一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x＋的最小值是2.(　　)(2)ab≤成立的条件是ab>0.(　　)(3)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．(　　)(4)若a>0，则a3＋的最小值是2.(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×二、易错纠偏(1)忽视基本不等式成立的条件；(2)基本不等式不会变形使用．1．“x>0”是“x＋≥2成立”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.当x>0时，x

4、＋≥2＝2.16因为x，同号，所以若x＋≥2，则x>0，>0，所以“x>0”是“x＋≥2成立”的充要条件，故选C.2．设x>0，则函数y＝x＋－的最小值为________．解析：y＝x＋－＝＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＋＝，即x＝时等号成立．所以函数的最小值为0.答案：0　　　　　　利用基本不等式求最值(多维探究)角度一　通过配凑法利用基本不等式求最值(1)已知01)的最小值为________．【解析】　(1)x(4－3x)＝·(3x)(4－3

5、x)≤·＝，当且仅当3x＝4－3x，即x＝时，取等号．(2)y＝＝＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2.当且仅当(x－1)＝，即x＝＋1时，等号成立．16【答案】　(1)　(2)2＋2角度二　通过常数代换利用基本不等式求最值若a＞0，b＞0，lga＋lgb＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为(　　)A．8B．6C．4D．2【解析】　由lga＋lgb＝lg(a＋b)，得lg(ab)＝lg(a＋b)，即ab＝a＋b，则有＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以a＋b的最小值为4，故选C.【答案】

6、　C角度三　通过消元法利用基本不等式求最值(一题多解)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．【解析】　法一：由已知得x＋3y＝9－xy，又因为x>0，y>0，所以x＋3y≥2，所以3xy≤，当且仅当x＝3y时，即x＝3，y＝1时取等号，(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0.令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0，得t≥6即x＋3y≥6.法二：由x＋3y＋xy＝9，得x＝，所以x＋3y＝＋3y＝＝＝＝3(1＋y)＋－6≥2－6＝12－6＝6.当且仅当3(1＋y)＝，即y＝

7、1时等号成立．所以x＋3y的最小值为6.16【答案】　6角度四　多次利用基本不等式求最值若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________．【解析】　因为ab＞0，所以≥＝＝4ab＋≥2＝4，当且仅当时取等号，故的最小值是4.【答案】　4(1)利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式．(2)常数代换法，主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求＋的最值”的问题，先将＋转化为·，再用基本不等式求最值．(3)当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常

8、数”，最后利用基本不等式求最值．(4)当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法．　　(2020·河南许昌、洛