3.7 弧长及扇形的面积应用

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1、§3.7弧长及扇形的面积——应用(陕西师大附中王全710062)一、教学目标：1、进一步理解弧长及扇形面积的计算公式并能正确应用；2、利用数学知识解决实际问题，逐步培养学生的应用意识；3、经历对物体翻滚过程的体验，逐步发展学生的空间观念；二、教学重点：弧长及扇形面积计算公式的应用，对物体翻转过程的想象。三、教学难点：对物体翻滚过程的想象，并将其抽象成数学问题加以解决。四、教学过程：（一）复习与回顾：上一节课我们讨论了弧长及扇形面积的计算公式。今天，请同学们先完成以下问题：1、在半径为R的圆中，的圆心角所对的弧长的计算公式为：。2、如果

2、扇形的半径为R，圆心角为，那么扇形面积的计算公式为：。3、扇形的弧长与扇形的面积之间的关系为：。接下来，我们通过几个具体问题来看看弧长及扇形面积的应用。（二）典型题探讨：1、课本习题变式探讨：如图1，折线AOBC是一段围墙，一根5米长的绳子的一端拴在O点处的柱子上，另一端拴着一只小羊。请在图1中画出小羊的最大活动区域。首先，让学生快速回忆以前解决过的原问题，并通过依次点击按钮1——第6页共6页按钮5来展示小羊活动的最大区域及其形成过程，如图2中由曲线所围成的区域。然后，点击按钮，显示以下变式问题：如果OA＝6米，OB＝3米，BC＝5米

3、，∠AOB＝90°，∠OBC＝120°，则小羊活动的最大区域的面积为_________。[解析]：根据最大区域的形成过程知该区域的面积分成了扇形DOF和扇形FBG两部分。因此，小羊的最大活动区域的面积应为：此时，点击按钮6显示答案。[评注]：该问题中小羊活动的路径为两段圆弧，而最大活动区域实际上分别是线段OD、BF绕着点O、B旋转时扫过的图形面积之和。2、典型问题赏析：问题1、将以边长为1的等边三角形木板沿水平线翻滚(如图3所示)，那么点B从开始至结束所经过的路径的长度为____________。A、B、C、4D、第6页共6页[解析]

4、：让学生动手操作，去体会点B的运动路径并将其在图形中画出来，然后加以计算。在大多数学生获得结果时依次点击按钮1、按钮2、按钮1，帮助学生进一步想象物体的运动以及点B的路径。至于计算，有图3易知两段弧相等，各弧的圆心角为120°，半径为1，故可求得答案为B。此时，点击按钮3显示答案。问题2、边长为2的正方形木块在水平地面上翻滚两周(如图4所示)后，顶点A所经过的路径总长为_______，A点与旋转中心连线所扫过的面积为________。[解析]：让学生组成两人学习互助组，共同协作动手操作，去寻找并体会A点的运动路径并在图形中画出来；适时

5、指点遇到障碍的学习小组，给予必要的提示。点击按钮1、按钮2、按钮1，让学生验证自己的想象以及操作结果，使学生从中获得成就感。A点路径的计算可以分别计算弧AC、弧CA’的长，然后相加即可。依次点击按钮3显示辅助线和A点路径长的答案；点击按钮5显示A点与旋转中心连线所扫过的图形为两个扇形，点击按钮6显示A点与旋转中心连线所扫过的图形的面积。[评注]：在该问题中，A点在两次翻滚时所绕的旋转中心发生了变化，因此旋转半径也发生了变化。这一点，应给学生强调，并与课本变式题进行对比，让学生体会问题之关键所在。问题3、在△ABC中，∠C＝90°，∠A

6、＝60°，AC＝，将△ABC绕点B旋转至△第6页共6页BDE的位置，且使点A、B、D在同一条直线上，请在图中画出AC边扫过的面积，并求这个面积。[解析]：本题也是考虑一条线段扫过的图形面积，那么它与课本变式题和问题2中的问题是否一样呢？请同学们动手试一试，想一想，也可以将你的想法和同伴进行交流。适时地指点和给出必要的提示：线段与两个端点之间的关系，点的运动路径能找出来吗？线段的中点的路径又如何呢？试着再找找线段上其它点的运动路径，你能发现什么呢？点击按钮1显示图5中的阴影部分，此即为线段AC扫过的图形。方法一、利用“阴影部分面积＝总面

7、积－空白部分面积”，即阴影部分面积＝(扇形ABE的面积＋△BDE的面积)－(△ABC的面积＋扇形CBD的面积)＝扇形ABE的面积－扇形CBD的面积；方法二、图5中阴影部分的面积可以利用图6或图7的方法将其转化为扇环的问题进行求解；点击按钮2可得图6，点击按钮3可得图7；方法三、扇环是圆环的一部分，那么能否将方法二中的扇环与圆环联系起来呢？请同学们试着将△ABC继续绕点B顺时针旋转，再依次转过两个120°，看看能得到什么图形？从中你能得到什么启示？第6页共6页在学生有了初步认识后，点击按钮4可得图8。利用图8，我们不难得到图5中阴影部分

8、的面积为。[评注]：在该问题中，线段AC扫过的图形尽管不是规则图形，但我们可以通过对图形的组拼将其转化为规则图形。这正是求解不规则图形面积的常用方法。五、课时小结：1、弧长与扇形面积的计算关键是找准扇形的半径和圆心角的大