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1、【模型解题法】导数在函数中应用模型例1（单调性）设函数（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数在区间内单调递增，求的取值范围.21世纪教例2（极值问题）设x=1和x=2是函数f（x）=x5+ax3+bx+1的两个极值点，(Ⅰ)求a、b的值；(Ⅱ)求f（x）的单调区间。解：（Ⅰ）f′(x)=5x4+3ax2+b，由假设知f′(1)=5+3a+b=0，f′(2)=24×5+22×3a+b=0，解得；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，f′(x)＞0，当x∈(-2，-1)∪(1，2)时，f′(x)＜0，因此f(x)的单调增区间是，f(x)的单调减区间是(-2，-1)，(1，2)。例3（最值问题）水库的
2、蓄水量随时间而变化，现用表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为V(t)＝，(Ⅰ)该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以i－1＜t＜i表示第1月份（i＝1，2，…，12）,同一年内哪几个月份是枯水期？(Ⅱ)求一年内该水库的最大蓄水量（取e＝2.7计算）.(Ⅰ)①当时,,化简得,解得,或,又,故.②当时,,化简得,解得,又,故.综合得,或;故知枯水期为1月,2月,3月,11月,12月共5个月.(Ⅱ)(Ⅰ15)知:V(t)的最大值只能在(4,10)内达到.由V′(t)=令V′(t)=0,解得t=8(t=-2舍去).当
3、t变化时,V′(t)与V(t)的变化情况如下表:由上表,V(t)在t=8时取得最大值V(8)=8e2+50-108.52(亿立方米).故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米例4（利用导数解决恒成立的问题）设函数，其中常数a>1.(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围.21世纪教育网解：(I)f′(x)=x2-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a)，由a＞1知，当x＜2时，f′(x)＞0，故f(x）在区间（-∞，2）是增函数；当2＜x＜2a时，f′(x)＜0，故f(x)在区间(2，2a)是减函数；当x＞2a时，f′(x)
4、＞0，故f(x)在区间(2a，+∞)是增函数，综上，当a＞1时，f(x)在区间（-∞，2）和(2a，+∞)是增函数，在区间(2，2a)是减函数．(Ⅱ)由(I)知，当x≥0时，f(x)在x=2a或x=0处取得最小值，f(2a)=(2a)3-(1+a)(2a)2+4a·2a+24a，，由假设知，即，解得1＜a＜6，故a的取值范围是(1，6)．例5（利用导数研究方程的根）已知函数.（Ｉ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若曲线上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围.解 （Ⅰ）由题设知.15令.当（i）a>0时，若，则，所以在区间上是增函数；若，则，所以在区
5、间上是减函数；若，则，所以在区间上是增函数；（ii）当a＜0时，若，则，所以在区间上是减函数；若，则，所以在区间上是减函数；若，则，所以在区间上是增函数；若，则，所以在区间上是减函数.（Ⅱ）由（Ⅰ）的讨论及题设知，曲线上的两点A、B的纵坐标为函数的极值，且函数在处分别是取得极值，.因为线段AB与x轴有公共点，所以.即.所以.故.解得 －1≤a＜0或3≤a≤4.即所求实数a的取值范围是[-1，0)∪[3，4].高手支招（模型例析）例1（单调性）已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，a∈R．(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)设函数f(x)在区间(－，－)内是减函数，求a的取值
6、范围．解模与识模:若f(x)在某区间上可导，则由f¢(x)＞0(f¢(x)＜0)可推出f(x)为增（减）函数，但反之则不一定，如：函数f(x)＝x3在R上递增，而f¢(x)≥0.f(x)在区间D内单调递增(减)的充要条件是f¢(x0)≥0(≤0)，且f¢(x)在(a，b)的任意子区间上都不恒为零.利用导数求解函数单调性的主要题型：(1)根据函数解析式，求函数的单调区间；(2)根据函数的单调性求解参数范围问题；(3)求解与函数单调性相关的其它问题，如函数图象的零点、不等式恒成立等问题.第（Ⅰ）小题先求导函数f¢(x)，由于含有参数a，根据判别式确定对a的分类标准，进而确定单调区间；
7、第（Ⅱ）小题根据第（Ⅰ）小题的结果，建立关于a的不等式组，由此可确定a的范围.(Ⅰ)由f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，求导得f¢(x)＝3x2＋2ax＋1，15当a2≤3时，△＝4(a2－3)≤0，f¢(x)≥0，f(x)在R上递增，当a2＞3时，由f¢(x)＝求得两根为x＝，随x的变化的符号及的变化情况如下表：x+0-0+↗极大值↘极小值↗则函数f(x)在区间(－∞，)上递增，在区间(，)上递减，在区间(，＋∞)上递增.(Ⅱ)由(Ⅰ)得，且a2＞3，解得a≥2.本题是利用导数求
