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1、第十讲导数的应用知识梳理1.函数的单调性：在某个区间（a,b）内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减.如果，那么函数在这个区间上是常数函数.注：函数在（a,b）内单调递增，则，是在（a,b）内单调递增的充分不必要条件.2.函数的极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正．一般地，当函数在点处连续时，判断是极大（小）值的方法是：（1）如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值．（2）如果在附近的左侧，右侧，那
2、么是极小值．注：导数为0的点不一定是极值点知识点一：导数与函数的单调性方法归纳：在某个区间（a,b）内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减.如果，那么函数在这个区间上是常数函数.注：函数在（a,b）内单调递增，则，是在（a,b）内单调递增的充分不必要条件.【例1】（B类）（2011·朝阳期末）已知函数的图象过点，且在点处的切线方程为.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的单调区间.【解题思路】注意切点既在切线上，又原曲线上.函数在区间上递增可得：；函数在区间上递减可得：.【解析】（Ⅰ）由
3、的图象经过，知，所以.所以.由在处的切线方程是，知，即，.所以即解得.故所求的解析式是.（Ⅱ）因为，令，即，解得，.当或时，，当时，，故在内是增函数，在内是减函数，在内是增函数. 25【例2】（A类）若在区间[－1,1]上单调递增，求的取值范围.【解题思路】利用函数在区间上递增可得：；函数在区间上递减可得：.得出恒成立的条件,再利用处理不等式恒成立的方法获解.【解析】又在区间[－1,1]上单调递增在[－1,1]上恒成立即在[－1,1]时恒成立.故的取值范围为【例3】（B类）已知函数,,设．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若
4、以函数图像上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值；【解题思路】注意函数的求导法则.注意对数函数定义域.在某点处的切线的斜率为该点的导数值.【解析】（I），∵，由，∴在上单调递增.由，∴在上单调递减.∴的单调递减区间为，单调递增区间为.（II），恒成立当时，取得最大值.∴，∴amin=.【课堂练习】1.（B类）（山东省烟台市2011届高三上学期期末考试试题（数学文））已知函数的图像经过点，曲线在点处的切线恰好与直线垂直.（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）若函数在区间上单调递增，求的取值范围.【解题思路】两条直线垂直斜率互
5、为负倒数.在区间上单调递增，即为函数的递增区间的子集.【解析】（Ⅰ）的图象经过点∴∵，∴由已知条件知即∴解得：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，25令则或∵函数在区间上单调递增∴∴或即或2．（B类）设函数，在其图象上一点P（x，y）处的切线的斜率记为（1）若方程的表达式；（2）若的最小值.【解题思路】注意一元二次方程韦达定理的应用条件.在区间[-1,3]上单调递减，即导函数在相应区间上恒小于等于0.再者注意目标函数的转化.【解析】（1）根据导数的几何意义知由已知-2、4是方程的两个实根由韦达定理，（2）在区间[—1，3]上是单调递减函数
6、，所以在[—1，3]区间上恒有其中点（—2，3）距离原点最近，所以当有最小值133.（A类）已知函数，．当时，讨论函数的单调性.【解题思路】注意函数的定义域.在确定函数的定义域之后再对函数进行单调性的讨论【解析】∵，∴（1）当时，若为增函数；为减函数；为增函数．（2）当时，为增函数；为减函数；为增函数．知识点二:导数与函数的极值最值方法归纳：1.求函数的极值的步骤:(1)确定函数的定义域，求导数.(2)求方程的根.(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.检查25在方程根左右的值的符号，
7、如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么在这个根处无极值.2.求函数在上最值的步骤：（1）求出在上的极值.（2）求出端点函数值.（3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值.注:可导函数在处取得极值是的充分不必要条件.【例4】（A类）若函数在处取得极值,则.【解题思路】若在附近的左侧，右侧，且,那么是的极大值；若在附近的左侧，右侧，且,那么是的极小值.【解析】因为可导,且,所以,解得.经验证当时,函数在处取得极大值.【注】若是可导函数，注意是为函数极值点的必要
8、条件.要确定极值点还需在左右判断单调性.【例5】（B类）（2011北京文18）已知函数，（I）求的单调区间；（II）求在区间上的最小值.【解题思路】注意求导的四则运算；注意分类讨论.【解析】（I），令；所以在上递减，在上递增；（II）当时，函数在区间上递增，所以；当即时，由（I）知，函数在区间上递减，上递增，所以；当
