【模型解析】导数在函数中应用模型

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1、【模型解题法】导数在函数中应用模型www.3pingmi.com三平米教育模型思考“函数”是贯穿高中数学的一条主线，知识点多、覆盖面广、综合性强、思想丰富，很容易与其它知识建立深刻联系，且常考常新，但是,函数题型花样繁多,解题方法层出不穷,这也是我们同学们学习函数的一大烦恼.有没有一种方法能够贯穿于多数函数题型且可以是的方法比较固定呢?于是我们想到导数,“导数”给传统函数问题注入了生机与活力，既拓宽了高考的命题空间，也开辟了新的解题途径,同时在多数函数问题中方法比较统一.精选例题（模型示例）例1（单调性）设函数（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数在区间内单调递

2、增，求的取值范围.21世纪教育网例2（极值问题）设x＝1和x＝2是函数f(x)＝x5＋ax3＋bx＋1的两个极值点.求a和b的值.例3（最值问题）水库的蓄水量随时间而变化，现用表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为V(t)＝，(Ⅰ)该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以i－1＜t＜i表示第1月份（i＝1，2，…，12）,同一年内哪几个月份是枯水期？(Ⅱ)求一年内该水库的最大蓄水量（取e＝2.7计算）.例4（利用导数解决恒成立的问题）设函数，其中常数a>1.(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若

3、当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围.21世纪教育网14例5（利用导数研究方程的根）已知函数.（Ｉ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若曲线上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围.高手支招（模型例析）例1（单调性）已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，a∈R．(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)设函数f(x)在区间(－，－)内是减函数，求a的取值范围．解模与识模:若f(x)在某区间上可导，则由f¢(x)＞0(f¢(x)＜0)可推出f(x)为增（减）函数，但反之则不一定，如：函数f(x)＝x3在R上递增，而f¢(x)

4、≥0.f(x)在区间D内单调递增(减)的充要条件是f¢(x0)≥0(≤0)，且f¢(x)在(a，b)的任意子区间上都不恒为零.利用导数求解函数单调性的主要题型：(1)根据函数解析式，求函数的单调区间；(2)根据函数的单调性求解参数范围问题；(3)求解与函数单调性相关的其它问题，如函数图象的零点、不等式恒成立等问题.第（Ⅰ）小题先求导函数f¢(x)，由于含有参数a，根据判别式确定对a的分类标准，进而确定单调区间；第（Ⅱ）小题根据第（Ⅰ）小题的结果，建立关于a的不等式组，由此可确定a的范围.(Ⅰ)由f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，求导得f¢(x)＝3x2＋2ax＋

5、1，当a2≤3时，△＝4(a2－3)≤0，f¢(x)≥0，f(x)在R上递增，当a2＞3时，由f¢(x)＝求得两根为x＝，随x的变化的符号及的变化情况如下表：x+0-0+↗极大值↘极小值↗则函数f(x)在区间(－∞，)上递增，在区间(，)上递减，在区间(，＋∞)上递增.(Ⅱ)由(Ⅰ)得，且a2＞3，解得a≥2.本题是利用导数求解函数单调性问题的两类最典型的题型.由于函数解析式中含有字母参数a，因此解答第(Ⅰ)小题时注意分类讨论.第(Ⅱ)小题的解答是根据第(Ⅰ)小题的结果，利用集合集合间的关系建立不等式来求解的.第(Ⅱ)小题还是利用函数在已知区间上减函数建立不等

6、式来求解.14例2（极值问题）已知函数f(x)＝(c＞0，且c≠1，k∈R）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是x＝－c．(Ⅰ)求函数f(x)的另一个极值点；(Ⅱ)求函数f(x)的极大值M和极小值m，并求M－m≥1时k的取值范围．解模与识模:极值点的导数一定为0，但导数为0的点不一定是极值点，同时不可导的点可能是极值点.因此函数的极值点只能在导数为0的点或不可导的点产生.利用导数求函数的极值主要题型：(1)根据函数解析式求极值；(2)根据函数的极值求解参数问题.解答时要注意准确利用导数求极值的原理求解.求函数极值的方法①先明确函数所定义范围，求②令，解出

7、方程的根③列表，检验是否为函数极值极值是指函数在附近有定义，且对于附近所有的点都有（或大于），就是极小（大）值.判别是极大、极小值的方法:（Ⅰ）直接看函数图象，找极值；（Ⅱ）利用导函数的符号变化，找函数极值;即当函数在点处连续时，判别是极大(小)值的方法：(1)如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；(2)如果在附近的左侧，右侧.那么是极小值.④把带回函数解析式，计算，求出函数极值对于本题，先求导函数f¢(x)，然后令f¢(－c)＝0及一元二次方程根与系数的关系可解决第（Ⅰ）小题；而解答第（Ⅱ）小题须对k与c进行分类讨论来解答.(Ⅰ)f¢(x)＝＝，由题意知f¢

8、(－c)＝0，即得c2k－2c－ck＝