xltAAA第三章-随即变量的数字特征.doc

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1、第三章随机变量的数字特征【授课对象】理工类（本）三年级【授课时数】4学时【授课方法】课堂讲授与提问相结合【基本要求】1、理解数学期望、方差的概念，并掌握它们的性质。2、会计算随机变量函数的数学期望。3、了解协方差、相关系数的概念。【本章重点】对数学期望、方差、相关系数等数字特征概念的理解与计算。【本章难点】对不相关与相互独立间关系的理解。【授课内容及学时分配】§3.0前言从上一章我们可以看出，分布函数（或密度函数、分布列）给出了随机变量的一种最完全的描述。因此，原则上讲，全面认识和分析了随机现象就应当能求出其分布，但是对许多实际问题来讲，要想精确地求出其分布是很困难的。其实，

2、通过对许多实际问题的分析，人们发现对某些随机现象的认识并不要求了解它的确切分布，而只要求掌握他们的某些重要特征，这些特征往往更能集中地反映随机现象的特点。如，要评价两个不同厂家生产的灯泡的质量，人们最关心的是谁家的灯泡使用的平均寿命更长些，而不需要知道其寿命的分布完全。同时还要考虑其寿命与平均寿命的偏离程度等。这些数据反映了它在某些方面的重要特征。我们把刻划随机变量(或其分布)某些特征的确定的数值称为随机变量的数字特征。本章主要介绍反应随机变量取值的集中位置、分散程度及随机变量之间相依程度的数字特征——数学期望、方差与相关系数。§3.1随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数

3、学期望引例：甲、乙二人进行射击比赛，以、分别表示他们命中的环数，分布列分别为：11概率论与数理统计教案第三章随机变量的数字特征～～试问谁的技术好些?这个问题的答案并不是一眼看得出的。这说明了分布列虽然完整地描述了随机变量，但是却不够“集中”地反映出它的变化情况，因此我们有必要找出一些量来更集中、更概括地描述随机变量，这些量多是某种平均值。若在上述问题中，使两个射手各射N枪，则他们打中的环数大约是：甲8+90.1+100.6=9.3乙80.2+90.5+100.3=9.1平均起来甲每枪射中9.3环，乙每枪射中9.1环，因此甲射手的本领要好些。受上面问题的启发，为此，对一般离散型

4、随机变量，我们引入如下定义：定义1:设为离散型随机变量，其分布列为：，若+则称E==为的数学期望或均值。〖注〗：①当级数发散时，E不存在。②为使E与各项的次序无关，必须要求收敛；否则，若条件收敛，则E不唯一，这自然不行。Eg1：求示性函数：==的数学期望。解：可见，可以通过求其示性函数的数学期望的办法来求出事件的概率。Eg2：设随机变量只取非负整数值，且其分布列为，试求。解：11概率论与数理统计教案第三章随机变量的数字特征而，所以二、连续型随机变量的数学期望定义2：设为连续型随机变量，其密度函数为，若广义积分<+收敛时，则定义的数学期望或均值为；否则E不存在。上述定义设~，若

5、<，则。[注]：设想取很密的分点分割，则落在内的概率等于，因此与以概率取值的离散型随机变量相似，而后者的数学期望为，这个和式的极限就是。Eg3：设随机变量，求。解：三、随机变量函数的数学期望1.是离散型随机变量是离散型随机变量若<+，则定义的数学期望为：E=E[]=，其中2.是连续型随机变量，其密度函数为，则是连续型随机变量若<+，则称的数学期望为Eg4：，求。解：令，则=11概率论与数理统计教案第三章随机变量的数字特征==(e-1)=对二维的情形：3.设(,)为二维离散型随机变量，其联合分布列为P，g(x,y)是二元连续函数，则(,)为一维随机变量。若P<+─—收敛，则称(

6、,)的数学期望为=P4.设(,)为二维连续型随机变量，其联合密度函数为f(x,y)，若<+,则称(,)的数学期望为=Eg5：设(,)的密度函数为P(x,y)=，试求，的数学期望。解：===1/3Eg6：假定国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随即变量（单位:千吨），其分布函数为P(x)=设每售出这种商品一千吨，可为国家挣得外汇3千万元；但假如销售不了而囤积于仓库，则每吨须花保养费用1千万元，问需要组织多少货源，才能使国家收益最大？解：设为某年预备出口的该种商品量，由于外国的需求量为，则国家收入（单位:万元）是的函数，且=f()=，这为随机变量。若收益最大，那么平均值最大

7、。11概率论与数理统计教案第三章随机变量的数字特征而=E[f()]===d+=解得：当=3500时，取得最大值。因此，需组织3500千吨该商品，平均说来能使国家的收益最大，这最好的决策。四、数学期望的性质1.若则，特别地：Ｅｃ＝Ｃ，这里为常数。ｐroof：设~P(x)，若g(x)C，则）=C====C思考：若存在，则2.常数a,b有E(a＋b)＝aE＋bEｐroof：设(~P(x,y)，令=g(x,y)=a＋b，则：=E(a＋b)=(ax+by)P(x,y)=a]+b=a+b=推论：①对常数CE（C）=