阿贝成像原理和空间滤波

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1、阿贝成像原理和空间滤波早在1874年，阿贝（E.Abbe,1840—1905）在德国蔡司光学器械公司研究如何提高显微镜的分辨本领问题时，就提出了相干成像的原理，他的发现不仅从波动光学的角度解释了显微镜的成像机理，明确了限制显微镜分辨本领的根本原因，而且由于显微镜（物镜）两步成像的原理本质上就是两次博里叶变换，阿贝成像原理的提出被认为是现代傅里叶光学的开端。通过本实验可以把透镜成像与干涉、衍射联系起来，初步了解透镜的傅里叶变换性质，从而有助于对现代光学信息处理中的空间频谱和空间滤波等概念的理解，能够对

2、相干成像的机理、频谱的分析做出深刻的解释。同时，这种简单模板作滤波的方法，直到今天在图像处理中仍然有广泛的应用价值。【实验目的】1．了解阿贝成像原理；2．理解傅立叶光学中的空间频率、空间频谱和空间滤波等概念；3．了解空间滤波的应用。【实验原理】1.阿贝成像原理　　在相干平行光照明下，显微镜的物镜成像可以分成两步：①入射光经过物的衍射在物镜的后焦面上形成夫琅禾费衍射图样；②衍射图样作为新的子波源发出的球面波在像平面上相干叠加成像。阿贝提出的二次衍射成像过程，经过计算可以证明实质上是以复振幅分布描述的物

3、光函数U(x,y)，经傅里叶变换成为焦平面（频谱面）上按空间频谱分布的复振幅——频谱函数U′(vx,vy)。频谱函数再经傅里叶逆变换即可获得像平面上的复振幅分布——像函数U″（x″，ｙ″）。也就是说透镜本身就具有实现傅里叶变换的功能。第一个步骤起的作用就是把光场分布变为空间频率分布。而第二个步骤是又一次傅里叶变换将U″（x″，ｙ″）又还原到空间分布U(x,y)。物是空间不同频率的信息的集合,第一次傅里叶变换是分频的过程,第二次傅里叶逆变换是合频过程,形成新的不同频率的信息的集合—像。如果这两次傅里叶

4、变换完全是理想的，信息在变换过程中没有损失，则像和物完全相似。但由于透镜的孔径是有限的，总有一部分衍射角度较大的高次成分（高频信息）不能进入物镜而被丢弃了。所以物所包含的超过一定空间频率的成分就不能包含在像上。如果高频信息没有到达像平面，则无论显微镜有多大的放大倍数，也不能在像平面上分辨这些细节。这是显微镜分辨率受到限制的根本原因。为便于说明这两步傅里叶变换，先以熟知的一维光栅做物，考察其刻痕经凸透镜成像情况，如图一所示，单色平行光束透过置于物平面ｘｏｙ上的光栅（刻痕顺着ｙ轴，垂直于ｘ轴）后，衍射出

5、沿不同方向传播的平行光束，其波阵面垂直于ｘｏｚ9面（ｚ沿透镜光轴），经透镜聚焦，在其焦平面ｘ′ｏ′ｙ′上形成沿ｘ′轴分布的各具不同强度的衍射斑，继而从各斑点发出的球面光波到达像平面ｘ″ｏ″ｙ″，相干叠加形成的光强分布就是光栅刻痕的放大实像。处理同频率光波相干叠加问题，人们只关注光扰动在空间位置上的振幅和相位，这时采用复振幅描述比较方便。如某位置光振动方程Ｅ＝Ａｃｏｓ（ωｔ＋φ）可用Ａeｉ（ωｔ＋φ）＝Ａeｉφeｉωｔ的实部表示，其中Ａｅｉφ即为复（数）振幅，它同时表达了　图一阿贝成像原理光的振幅大

6、小和相位情况。因此对空间一平面的光波振动的振幅和相位可用复数振幅分布函数Ｕ（ｘ，ｙ）＝Ａ（ｘ，ｙ）ｅｉφ（ｘ，ｙ）（1）来描述，若只考虑光强相对值，则光强分布Ｉ（ｘ，ｙ）＝［Ａ（ｘ，ｙ）］２＝U（ｘ，ｙ）U*（ｘ，ｙ）（2）其中：U*是Ｕ的复数共轭。　　把复振幅概念用于光栅衍射，上述xoy面上单色平行光振幅和相位都是常量，可设复振幅Ｕ１＝１，通过光栅后受光栅透过函数ｔ（ｘ）的调制，形成物光场Ｕ（ｘ，ｙ）＝Ｕ１ｔ（ｘ）＝ｔ（ｘ）（3）　　设光栅周期为ｄ（光栅常量），透光的缝宽为ａ，则透过函数为整数（4

7、）其它ｘ值显然是沿ｘ轴的周期函数，如图二所示。与时间周期函数相区别，称它为空间周期函数，ｄ就是空间周期。仿照时间频率，也可定义空间频率为νｘ＝１/ｄｘ9，空间圆频率ｋｘ＝２π/ｄ＝２πνｘ。在光学中，空间频率表示单位长度内复振幅的重复次数。对三维空间沿任意方向复振幅的周期性，可用ｘ、ｙ、ｚ坐标轴的空间周期（空间频率）分量表达。　　图二　光栅的透过函数图三ｔ（ｘ）函数波形的傅里叶合成把周期函数ｔ（ｘ）展成博里叶级数，即（5））式中：ｎ取整数；ν１＝１／ｄ（基频）；ν２＝２ν１＝２／ｄ（二倍频），……这

8、就把ｔ（ｘ）表示为一系列简谐函数之和，各项系数ａｎ和ｂｎ反映不同空间频率的谐函数在函数ｔ（ｘ）内所占的成分，即ｔ（ｘ）的频谱。各值表示为：（6）（7）（8）由于ｔ（ｘ）是偶函数，因而所有ｂｎ＝０，（9）于是，图三给出ａ／ｄ＝１／３时前３项之和的函数形状，上式复数形式即光栅衍射光波的复振幅（10）式中：Ａ０＝ａ／ｄ是νｘ＝０的平面波成分，波阵面垂直于ｚ轴，经透镜会聚在焦平面的ｏ′处，即零级衍射斑。由光栅方程（衍射极大值方向角公式并参照图四可知ｓｉｎθｎ／λ9＝ｎ／ｄ＝ν