一级倒立摆系统分析培训讲学.doc

《一级倒立摆系统分析培训讲学.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、一级倒立摆的系统分析一、倒立摆系统的模型建立如图1-1所示为一级倒立摆的物理模型小车导轨xlF摆杆ɸɸ图1-1一级倒立摆物理模型对于上图的物理模型我们做以下假设：M：小车质量m：摆杆质量b：小车摩擦系数l：摆杆转动轴心到杆质心的长度I：摆杆惯量F：加在小车上的力x：小车位置ɸ：摆杆与垂直向上方向的夹角θ：摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）图1-2是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。注意：实际倒立摆系统中的检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。FNPMXB

2、x’X’’mgNPθIθ’’图1-2小车及摆杆受力分析分析小车水平方向受力，可以得到以下方程：M＝Ｆ-ｂ-Ｎ(1-1)由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到以下方程：(1-2)即：(1-3)将这个等式代入式（1-1）中，可以得到系统的第一个运动方程：(1-4)为推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得出以下方程：(1-5)(1-6)利用力矩平衡方程可以有：(1-7)注意：此方程中的力矩方向，由于，，，所以等式前面含有负号。合并两个方程，约去P和N可以得到第二个运动方程：(1-8)设，假设ɸ与1（单位是弧度）相比很小，即ɸ＜＜1，则可以进行近似处理：，

3、，。用u来代表被控对象的输入力F，线性化后的两个运动方程如下：(1-9)假设初始条件为0，则对式（1-9）进行拉普拉斯变换，可以得到：(1-10)由于输出为角度ɸ，求解方程组的第一个方程，可以得到：(1-11)或改写为：(1-12)如果令,则有：(1-13)如果将上式代入方程组的第二个方程，可以得到：(1-14)整理后可得传递函数：(1-15)其中假设系统状态空间方程为：(1-16)方程组对,解代数方程，可以得到解如下：(1-17)整理后可以得到系统状态空间方程：(1-18)由（1-9）的第一个方程为：对于质量均匀分布的摆杆可以有：于是可以得到：化简可以得到：(1-19)设X

4、={x,,,}，则有：(1-20)以上公式推理是根据牛顿力学的微分方程验证的。在实际系统中模型参数如下：M小车质量1.096Kgm摆杆质量0.109Kgb小车摩擦系数0.1N/m/secl摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25mI摆杆惯量0.0034kg*m*m将上述参数代入，就可以得到系统的实际模型。摆杆角度和小车位移的传递函数：(1-21)摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：(1-22)摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：(1-23)以外界作用力作为输入的系统状态方程：(1-24)以小车加速度作为输入的系统状态方程：（1-25）综述可知以上就是一级倒立摆系统的模型建立过

5、程，最终得出了实际模型的传递函数和状态空间方程。一、系统模型的转换以小车加速度作为输入的系统状态方程为例，将系统状态方程转化为能控标准型，能观标准型和约当标准型。由系统状态方程可知：1、转化为能控标准型定出系统特征多项式：>>a=poly(A)a=1.0000-0.0000-29.400000由此可知a0=0,a1=0,a2=-29.4,a3=0。>>b3=C*Bb3=00b2=C*A*B+a3*C*Bb2=13>>b1=C*A^2*B+a3*C*A*B+a2*C*Bb1=00>>b0=C*A^3*B+a3*C*A^2*B+a2*C*A*B+a1*C*Bb0=-29.4000

6、0所以系统的能控标准型为：1、转化为能观标准型利用对偶性求出能观标准型为：2、转化为约当标准型首先求出系统的特征值以及相应的特征向量：A=[0100;0000;0001;0029.40]A=01.00000000000001.00000029.40000>>[V,D]=eig(A)V=001.0000-1.00000000.00000.1814-0.1814000.98340.983400D=5.42220000-5.42220000000000其中D表示A全部特征值构成的对角阵，V表示相对应的特征向量。求出变换矩阵V的逆：>>V1=inv(V)Warning:Matrixi

7、sclosetosingularorbadlyscaled.Resultsmaybeinaccurate.RCOND=1.720635e-292.V1=1.0e+291*000.00000.000000-0.00000.00000.00002.49480002.494800计算变换后的系数矩阵：>>A1=V1*A*VA1=5.42220000.0000-5.4222000000.00000000B1=V1*BB1=1.0e+291*0.00000.00002.49482.4948所以系统的约当标准型为：