数学分析(华东师大)第十一章反常积分.doc

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1、第十一章反常积分§1反常积分概念一问题提出在讨论定积分时有两个最基本的限制:积分区间的有穷性和被积函数的有界性.但在很多实际问题中往往需要突破这些限制,考虑无穷区间上的“积分”,或是无界函数的“积分”,这便是本章的主题.例1(第二宇宙速度问题)在地球表面垂直发射火箭(图11-1),要使火箭克服地球引力无限远离地球,试问初速度v0至少要多大?设地球半径为R,火箭质量为m,地面上的重力加速度为g.按万有引力定律,在距地心x(≥R)处火箭所受的引力为mgR2F=.x2于是火箭从地面上升到距离地心为r(>R)处需作的功为rmgR2∫dx=mgR21-1.Rx2Rr当r→+∞时,其极限mgR就是火箭

2、无限远离地球需作的功.我们很自然地会把这极限写作上限为+∞的“积分”:图11-1∫∫+∞mgR2dx=limrmgR2Rx2r→+∞Rdx=mgR.x2最后,由机械能守恒定律可求得初速度v0至少应使122mv0=mgR.用g=9.81(m6s/2),R=6.371×106(m)代入,便得v0=2gR≈11.2(km6s/).例2圆柱形桶的内壁高为h,内半径为R,桶底有一半径为r的小孔(图11-2).试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水,共需多少时间?§1反常积分概念265从物理学知道,在不计摩擦力的情形下,当桶内水位高度为(h-x)时,水从孔中流出的流速(单位时间内流过单位截面

3、积的流量)为v=2g(h-x),其中g为重力加速度.设在很小一段时间dt内,桶中液面降低的微小量为dx,它们之间应满足πR2dx=vπr2dt,图11-2由此则有2dt=Rdx,x∈[0,h].r22g(h-x)所以流完一桶水所需时间在形式上亦可写成“积分”:∫htf=0R2dx.r22g(h-x)但是在这里因为被积函数是[0,h)上的无界函数,所以它的确切含义应该是Ru2tf=lim∫2dxu→h-0r2g(h-x)=lim-22·Rgr2h-h-uu→h2=2hR.gr相对于以前所讲的定积分(不妨称之为正常积分)而言,例1和例2分别提出了两类反常积分.二两类反常积分的定义定义1设

4、函数f定义在无穷区间[a,+∞)上,且在任何有限区间[a,u]上可积.如果存在极限ulim∫f(x)dx=J,(1)u→+∞a则称此极限J为函数f在[a,+∞)上的无穷限反常积分(简称无穷积分),记作∫+∞J=f(x)dx,(1′)a∫∫+∞+∞并称f(x)dx收敛.如果极限(1)不存在,为方便起见,亦称f(x)dxaa发散.类似地,可定义f在(-∞,b]上的无穷积分:266第十一章反常积分bb∫f(x)dx=lim∫f(x)dx.(2)-∞u→-∞u对于f在(-∞,+∞)上的无穷积分,它用前面两种无穷积分来定义:∫∫+∞af(x)dx=-∞-∞+∞∫f(x)dx+af(x)dx,(3)

5、其中a为任一实数,当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的.注1无穷积分(3)的收敛性与收敛时的值,都和实数a的选取无关.注2由于无穷积分(3)是由(1)、(2)两类无穷积分来定义的,因此,f在任何有限区间[v,u]Ì(-∞,+∞)上,首先必须是可积的.∫+∞注3af(x)dx收敛的几何意义是:若f在[a,+∞)上为非负连续函数,则图11-3中介于曲线y=f(x),直线x=a以及x轴之间那一块向右无限延伸的阴影区域有面积J.例3讨论无穷积分∫+∞图11-3的收敛性.解由于dx1xp(4)∫udx1xp=11-p(u1-p-1),p≠1,lnu,p=1,1ulim∫dx=u→+

6、∞1xpp-1,p>1+∞p≤1,因此无穷积分(4)当p>1时收敛,其值为1;而当p≤1时发散于+∞.p-1从图11-4看到,例3的结论是很直观的:p的值越大,曲线y=1当x>1时越靠近x轴,从xp而曲线下方的阴影区域存在有限面积的可能性也就越大.例4讨论下列无穷积分的收敛性:1∫)+∞dx∫2x(lnx)p;2)+∞dx-∞1+x2.解1)由于无穷积分是通过变限定积分的极限来定义的,因此有关定积分的换元积分法和图11-4§1反常积分概念267分部积分法一般都可引用到无穷积分中来.对于本例来说,就有∫+∞dx+∞dt2x(lnx)p=∫ln2tp.从例3知道,该无穷积分当p>1

7、时收敛,当p≤1时发散.2)任取实数a,讨论如下两个无穷积分:a∫dx+∞dx-∞1+x2和∫a由于a1+x2.lim∫dx=lim(arctana-arctanu)u→-∞u1+x2vu→-∞=arctana+π,2lim∫dx=lim(arctanv-arctana)v→+∞a1+x2v→+∞=π2-arctana,因此这两个无穷积分都收敛.由定义1,∫+∞dxadx+∞dx-∞1