第十一章 反常积分.doc

《第十一章 反常积分.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、第十一章反常积分§1反常积分概念1．讨论下列无穷积分是否收敛？若收敛则求其值。（1）；解=，=（2）；解，§2无穷积分的性质与收敛判别1．证明定理112及其推论1解（1）定理112（比较法则）设定义在[a,u]上可积，且满足：则当收敛时，必收敛.（或当发散时，证由定理11.1，对有.由不等式.即无穷积分.（2）推论1：若和都在任何[a,u]上可积，（）当0

2、有极限的定义知，对,对有即由定理112的结论知与同敛态.即（i）与（ii）成立。又当时，由取对于有或又由定理112知，当发散时，也发散。2．设与是定义在[a,上的函数，对任何它们都在上可积。证明若与收敛，则与也收敛。证由及收敛，可知收敛，故也收敛。又从而，，均收敛。故收敛。3．设、、是定义在上的三个连续函数，且成立不等式.证明（1）若与都收敛，则也收敛；（2）又若==A则=A证由已知有对于任给由积分性质，有（i）若及收敛，即及存在由夹逼定理有也存在，即收敛（ii）又若==A==A则由夹逼定理有4．讨论下

3、列无穷积分的收敛性：（1）；解，由柯西判别法知，收敛（2）；解，由柯西判别法的推论知，收敛（3）；解由于，由柯西判别法推论2，有发散（4）；，由柯西判别法推论3，知收敛（5）；当时，===0收敛当时，发散（6）解=，先考虑积分，故当且仅当时，积分收敛再考虑积分，因为，故当且仅当时，积分收敛综上所述，当时，积分收敛，否则发散5.讨论下列无穷积分为绝对收敛还是条件收敛：（1）；解令而对，有时而当，单调趋于0。故由狄利克雷判别法知收敛又。而其中是发散的，故发散在是条件收敛。（2）；解由于而收敛。绝对收敛。（3

4、）；解由于在[0，+上单调且当时趋于0，由狄利克雷判别法知积分收敛。又，而发散，收敛，故积分条件收敛。（4）解上单调递减且当时趋于0，由狄利克雷判别法知积分收敛又=而发散，收敛故积分条件收敛6．举例说明：收敛时不一定收敛；绝对收敛时也不一定收敛.解设则，收敛，但，发散.7．证明：若绝对收敛，且，则必定收敛.证因，故存在，当时，，于是.由比较判别法，知收敛.8．证明：若是上的单调函数，且收敛，则，且，证设在上单调无界（不妨设无上界），即对任何，存在，使得当时，.于是这与收敛相矛盾，从而在上单调有界，故存在

5、极限.由P.269习题5，知下面证明：，，即.不妨设在上，且单调减少.因收敛，由无穷积分的柯西准则，，，使得当时，有，于是，即9．证明：若在上一致连续，且收敛，则.证因在上一致连续，，（不妨设），使得当且时，有.又因收敛，由无穷积分的柯西准则，对上述，，使得当时，有.现在对任何，取，使得，且，于是从而，所以.§3瑕积分的性质与收敛判别1．写出性质3的证明。解性质3是指设函数的瑕积点为在a,b的任一内闭区间上可积，则当收敛时，也必定收敛，并有证瑕积分在瑕点处收敛，则由柯西准则有对、总有又在的任一内闭区间上

6、可积，再利用顶积分的绝对不等式又有再由柯西准则（充分性）知收敛又因，令便得到2写出定理116及推论1的证明定理116（比较法则）设定义在上的两个函数，瑕点同为，在任何上都可积，且满足，则当收敛（或者当发散时，亦必发散）推论1又若，且则有（i）当时，与同收敛；（ii）当时，由收敛可推知也收敛；（iii）当时，由发散可推知也发散证定理116若（瑕点为）收敛，由定理115瑕积分收敛的充要条件；对只要总有由不等式有再由定理115知必定收敛（同理可证发散）推论1当时，知的极限存在，为某一常数则由极限定义知，对，当

7、时，总有即由定理116结论，当时，与同态收敛，当时由的收敛可知也收敛。当时，由取当时，总有或由定理116结论，当发散可知，也发散。3．讨论下列瑕积分的收敛性；（1）；解是瑕点，由定理116的推论3，有而故积分发散（2）；解为瑕点，由于；而故积分收敛（3）；解是瑕点，则由于，则，由定理116推论3知，积分发散，从而积分发散（4），解故不是瑕点，因而只有为瑕点，又由于由定理116推论3知积分收敛（5）；解是瑕点，其中，瑕积分发散（6）；解为瑕点，其中故当时，积分收敛；时积分发散（7）；解此瑕积分的瑕点为。由

8、定理11推论2知，此时，当时，绝对收敛，又有当时，则由推论2的（ii）知积分发散当时，由狄利克雷判别法知为条件收敛（8）解=由=0知，收敛又由=0知，收敛由以上两个结果知，收敛4．举例说明：收敛且在上连续时，不一定有解设则在连续，且但在无界且不存在.5．证明：若收敛，且存在极限，则.证反证法.假设，不妨设.由保号性，存在，当时，，于是这与收敛相矛盾，所以.6．证明：若在上可导，且与都收敛，则证因为收敛，所以极限存在，从而由第5题知，总练习题