数学分析教案(华东师大版)第十一章反常积分

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1、《数学分析》教案第十一章反常积分教学目的：1.深刻理解反常积分的概念及其敛散性的含义；2.熟练掌握无穷积分和瑕积分的性质与敛散性的判别。教学重点难点：本章的重点是反常积分的含义与性质；难点是反常积分敛散性的判别。教学时数：8学时§1反常积分概念（2学时）教学目的：深刻理解反常积分的概念。教学重点难点：反常积分的含义与性质一问题的提出:例（P264）.二两类反常积分的定义定义1.设函数定义在无穷区间上，且在任何有限区间 上可积，如果存在极限（1）则称此极限J为函数在上的无穷限反常积分（简称-7-《数学分析》教案无穷积分），记作,并称收敛.如果极限（1）不存在，为方便起

2、见，亦称 发散.定义2.设函数定义在上，在点的任一右邻域内无界，但在任何内闭区间 上有界且可积，如果存在极        则称此极限为无界函数在上的反常积分，记作 并称反常积分收敛，如果极限不存在，这时也说反常积分 发散. 例1⑴讨论积分,,的敛散性.⑵计算积分.例2讨论以下积分的敛散性:⑴;⑵.例3讨论积分的敛散性.-7-《数学分析》教案例4判断积分的敛散性.例5讨论瑕积分的敛散性,并讨论积分的敛散性.三瑕积分与无穷积分的关系:设函数连续,为瑕点.有,把瑕积分化成了无穷积分;设,有，把无穷积分化成了瑕积分.　可见,瑕积分与无穷积分可以互化.因此,它们有平行的理论和

3、结果.§2.无穷积分的性质与收敛判定（2学时）教学目的：深刻理解反常积分敛散性的含义。教学重点难点：反常积分敛散性的判别。一无穷积分的性质⑴在区间上可积,—Const,则函数在区间上可积,且    .⑵和在区间上可积,在区间上可积,且 .⑶无穷积分收敛的Cauchy准则:-7-《数学分析》教案Th积分收敛.⑷绝对收敛与条件收敛:定义概念. 绝对收敛收敛,(证)但反之不确.绝对型积分与非绝对型积分. 二比较判别法非负函数无穷积分判敛法:对非负函数,有↗.非负函数无穷积分敛散性记法.⑴比较判敛法:设在区间上函数和非负且，又对任何>,和在区间上可积.则<,<；,.例6判断

4、积分的敛散性.推论1（比较原则的极限形式）:设在区间上函数,.则ⅰ><<,与共敛散:ⅱ>,<时,<；-7-《数学分析》教案ⅲ>,时,.(证)推论2（Cauchy判敛法）:(以为比较对象,即取 .以下>0)设对任何>,,且,<；若且,.Cauchy判敛法的极限形式:设是在任何有限区间 可积的正值函数.且.则ⅰ><；ⅱ>.(证)例7讨论以下无穷积分的敛散性:ⅰ>ⅱ> 三狄利克雷判别法与阿贝尔判别法:1.Abel判敛法:若在区间上可积,单调有界, 则积分收敛.2.Dirichlet判敛法:设在区间上有界，在上单调，且当时，.则积分收敛.-7-《数学分析》教案例8讨论无穷积

5、分与的敛散性.例9证明下列无穷积分收敛,且为条件收敛:,,.例10(乘积不可积的例)设,。由例6的结果,积分收敛.但积分却发散.§3瑕积分的性质与收敛判别（2学时）教学目的：熟练掌握无穷积分和瑕积分的性质与敛散性的判别。教学重点难点：无穷积分和瑕积分敛散性的判别。类似于无穷积分的柯西收敛准则以及其后的三个性质，瑕积分同样可由函数极限的原意写出相应的命题.Th(比较原则)P277Th11.6. 系1(Cauchy判别法)P277推论2. 系2(Cauchy判别法的极限形式)P277推论3. 例11判别下列瑕积分的敛散性:⑴(注意被积函数非正).⑵. -7-《数学分析》

6、教案例12讨论非正常积分的敛散性.注记.C—R积分与R积分的差异:1.R,在上;但在区间上可积,在区间上有界. 例如函数2.R,

7、

8、R,但反之不正确.R积分是绝对型积分.

9、

10、在区间上可积,在区间上可积,但反之不正确.C—R积分是非绝对型积分.3.,R,R;但和在区间上可积,在区间上可积.可见,在区间上可积,在区间上可积. 习题、小结（2学时）-7-